【正文】 同學(xué)們只有對基本的解題策略熟練掌握。因此可分成兩類討論； 第一類：由 1， 2， 4， 5， 6作數(shù)碼；首先從 2， 4， 6中任選一個作個位數(shù)字有 ，然后其余四個數(shù)在其他數(shù)位上全排列有 ，所以 第二類：由 1， 2， 3， 4， 5作數(shù)碼。 回目錄 某城市的街區(qū)由 12個全等的矩形區(qū)組成 其中實線表示馬路，從 A走到 B的最短路 徑有多少種？ 練習(xí)題 B A 37 35C ?回目錄 特征分析 研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進行推理，分析求解?！爸辽儆幸粋€”則是“有一個或一個以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個”的反面，故可用“排除法”。 同理，若第二方格內(nèi)填 4，則第三方格只能填 1，第四方格應(yīng)填 3。 第一方格內(nèi)可填 2或 3或 4。則可能有＿＿＿＿＿＿種抽取方法。 nnA回目錄 1 將 13個球隊分成 3組 ,一組 5個隊 ,其它兩組 4 個隊 , 有多少分法？ 3組 ,其中一組 4人 , 另兩組 3人 但正副班長不能分在同一組 ,有多少種不同 的分組方法 （ 1540） 5 4 41 3 8 422C C CA，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入 4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排 2名，則不同的安排方案種數(shù)為 ______ 22 26422290ACC A ?回目錄 分清排列、組合、等分的算法區(qū)別 例 (1)今有 10件不同獎品 ,從中選 6件分給甲一件 ,乙二件和丙三件 ,有多少種分法 ? (2) 今有 10件不同獎品 , 從中選 6件分給三人 ,其中 1人一件 1人二件 1人三件 , 有多少種分法 ? (3) 今有 10件不同獎品 , 從中選 6件分成三份 ,每份 2件 , 有多少種分法 ? 解：（ 1） 1 2 310 9 7 12600C C C? ? ? （ 2） 1 2 3 310 9 7 3 75600C C C A? ? ? ?(3) 336 2 2 211 0 6 4 2( ) 3 1 5 0AC C C C? ? ? ? )/(332628210 ACC回目錄 練習(xí) (1)今有 10件不同獎品 ,從中選 6件分成三份 , 二份各 1件 ,另一份 4件 , 有多少種分法 ? (2) 今有 10件不同獎品 ,從中選 6件分給甲乙丙三人 ,每人二件有多少種分法 ? 解 : (1) (2) 6 4 1 1110 6 2 12 3150C C C C? ? ? ?6 2 2 210 6 4 2 18900C C C C? ? ? ?)( 2628210 CCC回目錄 小結(jié)： 排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序 。 35A 分析 ： 五個數(shù)組成三位數(shù)的全排列有 個， 0排在首位的 有 個 ， 1排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排 法數(shù)，再加回百位為 0同時個位為 1的排列數(shù) （為什么？） 故共有 種。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 69C將 n個相同的元素分成 m份（ n， m為正整數(shù)） ,每份至少一個元素 ,可以用 m1塊隔板，插入 n個元素排成一排的 n1個空隙中，所有分法數(shù)為 11mnC??回目錄 例 高二年級 8個班 ,組織一個 12個人的年級學(xué)生分會 ,每班要求至少 1人 ,名額分配方案有多少種 ? 解 此題可以轉(zhuǎn)化為 :將 12個相同的白球分成 8份 ,有多少種不同的分法問題 ,因此須把這 12個白球排成一排 ,在 11個空檔中放上 7個相同的隔板 ,每個空檔最多放一個 ,即可將白球分成 8份 ,顯然有 種不同的放法 ,所以名額分配方案有 種 . 711C711C結(jié)論 轉(zhuǎn)化法 :對于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想 ,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解 . 分析 此題若直接去考慮的話 ,就會比較復(fù)雜 .但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題 ,就會顯得比較清楚 ,方法簡單 ,結(jié)果容易理解 . 回目錄 練 習(xí) （ 1）將 10個學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給 7個不同的班級，每班至少分到一個名額，不同的分配方案共有 （ ）種。 回目錄 A重排問題求冪策略 例 .把 6名實習(xí)生分配到 7個車間實習(xí) ,共有 多少種不同的分法 解 :完成此事共分六步 :把第一名實習(xí)生分配 到車間有 種分法 . 7 把第二名實習(xí)生分配 到車間也有 7種分 法， 依此類推 ,由分步計 數(shù)原理共有 種不同的排法 67允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究 對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排 各個元素的位置，一般地 n個不同的元素沒有限 制地安排在 m個位置上的排列數(shù)為 種 n m 回目錄 1. 某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目 .如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 42 2. 某 8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人 ,他們 到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法 （ ） 87練習(xí)題 回目錄 環(huán)排問題線排策略 例 6. 5人圍桌而坐 ,共有多少種坐法 ? 解： 圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成 圓形沒有首尾之分，所以固定一人 A并從 此位置把圓形展成直線其余 4人共有 ____ 種排法即 44AA B C E D D A A B C E （ 51)！ 一般地 ,n個不同元素作圓形排列 ,共有 (n1)!種排法 .如果從 n個不同元素中取出 m個元素作圓形排列共有 1 mnm A 回目錄 練習(xí)題 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？ 120 多排問題直排策略 例 ,每排 4人 ,其中甲乙在 前排 ,丁在后排 ,共有多少排法 解 :8人排前后兩排 ,相當(dāng)于 8人坐 8把椅子 ,可以 把椅子排成一排 . 先在前 4個位置排甲乙兩 個特殊元素有 ____種 ,再排后 4個位置上的 特殊元素有 _____種 ,其余的 5人在 5個位置 上任意排列有 ____種 ,則共有 _________種 . 前排 后排 24A14A55A24A 55A14A一般地 ,元素分成多排的排列問題 ,可歸結(jié)為一排考慮 ,再分段研究 . 回目錄 有兩排座位，前排 11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排 2人就座規(guī)定前排中間的 3個座位不能坐，并且這 2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 ______ 346 練習(xí)題 回目錄 346)2( 221121821122141423 ???? ACCAACCA小集團問題先整體局部策略 例 1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中恰有兩個偶數(shù)夾 1,５在兩個偶數(shù)之 間 ,這樣的五位數(shù)有多少個？ 解：把１ ,５ ,２ ,４當(dāng)作一個小集團與３排隊 共有 ____種排法，再排小集團內(nèi)部共有 _______種排法，由分步計數(shù)原理共有 _______種排法 . 22A2222AA2222AA22A3 1524 小集團 小集團排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進行處理。其中 3個女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故 只 對應(yīng)一種排法， 33A77A回目錄 定序問題倍縮空位插入策略 例 ,其中甲乙丙 3人順序一定共有多 少不同的排法 解 : (倍縮法 )對于某幾個元素順序一定的排列 問題 ,可先把這幾個元素與其他元素一起 進行排列 ,然后用總排列數(shù)除以 這幾個元 素之間的全排列數(shù) ,則共有不同排法種數(shù) 是： 7733AA（ 空位法 ）設(shè)想有 7把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有 種方法，其余的三個 位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法。8個學(xué)生， 4個老師，要求老師在學(xué)生中間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？ 解 先排學(xué)生共有 種排法 ,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有 7個空檔可插 ,選其中的 4個空檔 ,共有 種選法 .根據(jù)乘法原理 ,共有的不同坐法為 種 . 88A47A 4788 AA結(jié)論 插入法 :對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題 ,可以用插入法 .即先排好沒有限制條件的元素 ,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可 . 分析 此題涉及到的是不相鄰問題 ,并且是對老師有特殊的要求 ,因此老師是特殊元素 ,在解決時就要特殊對待 .所涉及問題是排列問題 . 回目錄 小結(jié)： 以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用 “ 捆綁法 ” ；以某些元素不能相鄰為附加條件的 ,可采用“ 插空法 ” 。 例 5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？ 分析：可先讓其余 4人站好，共有 種排法，再在這 4人之間及兩端的 5個“空隙”中選三個位置讓甲、乙、丙插入，則有 種方法，這樣共有 種不同的排法。解決某些元素在某些位置上用 “ 定位法 ” ，解決某些元素不在某些位置上一般用 “ 間接法 ”或轉(zhuǎn)化為 “ 在 ” 的問題求解。文 )五個工程隊承建某項工程的5個不同的子項目，每個工程隊承建 1項，其中甲工程隊不能承建 1號子項目，則不同的承建方案共有（ ）種。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件 回目錄 “特殊元素、特殊位置優(yōu)先安排法” 對于特殊元素的排列組合問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其它元素。 回目錄 有不同的數(shù)學(xué)書 7本，語文書 5本，英語書 4本，由其中取出不是同一學(xué)科的書 2本，共有多少種不同的取法？ （ 7 5 + 7 4 + 5 4 = 83） 回目錄 （ 4）（ 202012) 在由數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5組成的所有 沒有重復(fù)的 5位數(shù)中，大于 23145且小于 43521的 數(shù)共有（ ）個 58 回目錄