【正文】 析 此題涉及到的是不相鄰問題 ,并且是對(duì)老師有特殊的要求 ,因此老師是特殊元素 ,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待 .所涉及問題是排列問題 . 回目錄 小結(jié)： 以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即采用 “ 捆綁法 ” ；以某些元素不能相鄰為附加條件的 ,可采用“ 插空法 ” 。 回目錄 A重排問題求冪策略 例 .把 6名實(shí)習(xí)生分配到 7個(gè)車間實(shí)習(xí) ,共有 多少種不同的分法 解 :完成此事共分六步 :把第一名實(shí)習(xí)生分配 到車間有 種分法 . 7 把第二名實(shí)習(xí)生分配 到車間也有 7種分 法， 依此類推 ,由分步計(jì) 數(shù)原理共有 種不同的排法 67允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究 對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排 各個(gè)元素的位置，一般地 n個(gè)不同的元素沒有限 制地安排在 m個(gè)位置上的排列數(shù)為 種 n m 回目錄 1. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目 .如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 42 2. 某 8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人 ,他們 到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法 （ ） 87練習(xí)題 回目錄 環(huán)排問題線排策略 例 6. 5人圍桌而坐 ,共有多少種坐法 ? 解： 圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成 圓形沒有首尾之分，所以固定一人 A并從 此位置把圓形展成直線其余 4人共有 ____ 種排法即 44AA B C E D D A A B C E （ 51)！ 一般地 ,n個(gè)不同元素作圓形排列 ,共有 (n1)!種排法 .如果從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素作圓形排列共有 1 mnm A 回目錄 練習(xí)題 6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈？ 120 多排問題直排策略 例 ,每排 4人 ,其中甲乙在 前排 ,丁在后排 ,共有多少排法 解 :8人排前后兩排 ,相當(dāng)于 8人坐 8把椅子 ,可以 把椅子排成一排 . 先在前 4個(gè)位置排甲乙兩 個(gè)特殊元素有 ____種 ,再排后 4個(gè)位置上的 特殊元素有 _____種 ,其余的 5人在 5個(gè)位置 上任意排列有 ____種 ,則共有 _________種 . 前排 后排 24A14A55A24A 55A14A一般地 ,元素分成多排的排列問題 ,可歸結(jié)為一排考慮 ,再分段研究 . 回目錄 有兩排座位，前排 11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排 2人就座規(guī)定前排中間的 3個(gè)座位不能坐，并且這 2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 ______ 346 練習(xí)題 回目錄 346)2( 221121821122141423 ???? ACCAACCA小集團(tuán)問題先整體局部策略 例 1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù) 其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾 1,５在兩個(gè)偶數(shù)之 間 ,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？ 解：把１ ,５ ,２ ,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì) 共有 ____種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有 _______種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有 _______種排法 . 22A2222AA2222AA22A3 1524 小集團(tuán) 小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。 35A 分析 ： 五個(gè)數(shù)組成三位數(shù)的全排列有 個(gè)， 0排在首位的 有 個(gè) ， 1排在末尾的有 ，減掉這兩種不合條件的排 法數(shù)，再加回百位為 0同時(shí)個(gè)位為 1的排列數(shù) （為什么？） 故共有 種。則可能有＿＿＿＿＿＿種抽取方法。 同理，若第二方格內(nèi)填 4，則第三方格只能填 1，第四方格應(yīng)填 3。 回目錄 某城市的街區(qū)由 12個(gè)全等的矩形區(qū)組成 其中實(shí)線表示馬路，從 A走到 B的最短路 徑有多少種？ 練習(xí)題 B A 37 35C ?回目錄 特征分析 研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行推理，分析求解。同學(xué)們只有對(duì)基本的解題策略熟練掌握。因此可分成兩類討論； 第一類：由 1， 2， 4， 5， 6作數(shù)碼；首先從 2， 4， 6中任選一個(gè)作個(gè)位數(shù)字有 ，然后其余四個(gè)數(shù)在其他數(shù)位上全排列有 ，所以 第二類：由 1， 2， 3， 4， 5作數(shù)碼?！爸辽儆幸粋€(gè)”則是“有一個(gè)或一個(gè)以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個(gè)”的反面，故可用“排除法”。 第一方格內(nèi)可填 2或 3或 4。 nnA回目錄 1 將 13個(gè)球隊(duì)分成 3組 ,一組 5個(gè)隊(duì) ,其它兩組 4 個(gè)隊(duì) , 有多少分法？ 3組 ,其中一組 4人 , 另兩組 3人 但正副班長(zhǎng)不能分在同一組 ,有多少種不同 的分組方法 （ 1540） 5 4 41 3 8 422C C CA，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入 4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排 2名，則不同的安排方案種數(shù)為 ______ 22 26422290ACC A ?回目錄 分清排列、組合、等分的算法區(qū)別 例 (1)今有 10件不同獎(jiǎng)品 ,從中選 6件分給甲一件 ,乙二件和丙三件 ,有多少種分法 ? (2) 今有 10件不同獎(jiǎng)品 , 從中選 6件分給三人 ,其中 1人一件 1人二件 1人三件 , 有多少種分法 ? (3) 今有 10件不同獎(jiǎng)品 , 從中選 6件分成三份 ,每份 2件 , 有多少種分法 ? 解：（ 1） 1 2 310 9 7 12600C C C? ? ? （ 2） 1 2 3 310 9 7 3 75600C C C A? ? ? ?(3) 336 2 2 211 0 6 4 2( ) 3 1 5 0AC C C C? ? ? ? )/(332628210 ACC回目錄 練習(xí) (1)今有 10件不同獎(jiǎng)品 ,從中選 6件分成三份 , 二份各 1件 ,另一份 4件 , 有多少種分法 ? (2) 今有 10件不同獎(jiǎng)品 ,從中選 6件分給甲乙丙三人 ,每人二件有多少種分法 ? 解 : (1) (2) 6 4 1 1110 6 2 12 3150C C C C? ? ? ?6 2 2 210 6 4 2 18900C C C C? ? ? ?)( 2628210 CCC回目錄 小結(jié)： 排列與組合的區(qū)別在于元素是否有序 。 一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班 69C將 n個(gè)相同的元素分成 m份（ n， m為正整數(shù)） ,每份至少一個(gè)元素 ,可以用 m1塊隔板，插入 n個(gè)元素排成一排的 n1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為 11mnC??回目錄 例 高二年級(jí) 8個(gè)班 ,組織一個(gè) 12個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì) ,每班要求至少 1人 ,名額分配方案有多少種 ? 解 此題可以轉(zhuǎn)化為 :將 12個(gè)相同的白球分成 8份 ,有多少種不同的分法問題 ,因此須把這 12個(gè)白球排成一排 ,在 11個(gè)空檔中放上 7個(gè)相同的隔板 ,每個(gè)空檔最多放一個(gè) ,即可將白球分成 8份 ,顯然有 種不同的放法 ,所以名額分配方案有 種 . 711C711C結(jié)論 轉(zhuǎn)化法 :對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想 ,將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體的問題來求解 . 分析 此題若直接去考慮的話 ,就會(huì)比較復(fù)雜 .但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問題 ,就會(huì)顯得比較清楚 ,方法簡(jiǎn)單 ,結(jié)果容易理解 . 回目錄 練 習(xí) （ 1）將 10個(gè)學(xué)生干部的培訓(xùn)指標(biāo)分配給 7個(gè)不同的班級(jí)，每班至少分到一個(gè)名額，不同的分配方案共有 （ ）種。其中 3個(gè)女生因要求“從矮到高”排，只有一種順序故 只 對(duì)應(yīng)一種排法， 33A77A回目錄 定序問題倍縮空位插入策略 例 ,其中甲乙丙 3人順序一定共有多 少不同的排法 解 : (倍縮法 )對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列 問題 ,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起 進(jìn)行排列 ,然后用總排列數(shù)除以 這幾個(gè)元 素之間的全排列數(shù) ,則共有不同排法種數(shù) 是： 7733AA（ 空位法 ）設(shè)想有 7把椅子讓除甲乙丙以外 的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè) 位置甲乙丙共有 種坐法，則共有 種 方法。 例 5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相鄰，分別有多少種站法？ 分析：可先讓其余 4人站好，共有 種排法，再在這 4人之間及兩端的 5個(gè)“空隙”中選三個(gè)位置讓甲、乙、丙插入，則有 種方法，這樣共有 種不同的排法。文 )五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的5個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建 1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建 1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有（ ）種。 回目錄 有不同的數(shù)學(xué)書 7本，語文書 5本，英語書 4本，由其中取出不是同一學(xué)科的書 2本，共有多少種不同的取法？ （ 7 5 + 7 4 + 5 4 = 83） 回目錄 （ 4）（ 2020 14A14A 44A441414 AAA ??再安排老師，有 2種方法。能運(yùn) 用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題?；靖拍詈涂键c(diǎn) 合理分類和準(zhǔn)確分步 特殊元素和特殊位置問題 相鄰相間問題 定序問題 分房問題 環(huán)排、 多排問題 1小集團(tuán)問題 先選后排問題 平均分組問題 1構(gòu)造模型策略 枚舉法 1其它特殊方法 排列組合應(yīng)用題解法綜述 （目錄） 排列組合應(yīng)用題解法綜述 計(jì)數(shù)問題中排列組合問題是最常見的，由于其解法往往是構(gòu)造性的 , 因此方法靈活多樣 , 不同解法導(dǎo)致問題難易變化也較大，而且解題過程出現(xiàn) “ 重復(fù) ” 和 “ 遺漏 ” 的錯(cuò)誤較難自檢發(fā)現(xiàn)。提高學(xué)生解決問題分析問題的能力。 .(1008)(2 44141455 種）???? AAAA 回目錄 把握分類原理、分步原理是基礎(chǔ) 例 1 如圖，某電子器件是由三個(gè)電 阻組成的回路 ,其中有 6個(gè)焊接 點(diǎn) A， B， C， D， E， F，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通。福建 （ 4） (2020 44A3