【正文】 練 習(xí) 58 （ 3） 一個(gè)三位數(shù)，其十位上的數(shù)字既 小于百位上的數(shù)字也小于個(gè)位上的數(shù)字 ， 且個(gè)位百位上的數(shù)字不重復(fù)（如７３５等） 那么這樣的三位數(shù)有 個(gè)． 回目錄 144 240 例 袋中有 5分硬幣 23個(gè) ,1角硬幣 10個(gè) ,如果從袋中取出 2元錢 ,有多少種取法 ? 解 把所有的硬幣全部取出來 ,將得到 23+ 10= ,所以比 2元多 ,所以剩下 3個(gè) 5分或 1個(gè) 5分與 1個(gè) 1角 ,所以共有 種取法 . 110123323 CCC ??結(jié)論 剩余法 :在組合問題中 ,有多少取法 ,就有多少種剩法 ,他們是一一對應(yīng)的 ,因此 ,當(dāng)求取法困難時(shí) ,可轉(zhuǎn)化為求剩法 . 分析 此題是一個(gè)組合問題 ,若是直接考慮取錢的問題的話 ,情況比較多 ,也顯得比較凌亂 ,難以理出頭緒來 .但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話 ,就會很容易解決問題 . 回目錄 小結(jié) 本節(jié)課，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復(fù)習(xí)鞏固。 3355CC3 3 1 1 15 5 3 2 1 600C C C C C ?處理復(fù)雜的排列組合問題時(shí)可以把一個(gè)問題退化成一個(gè)簡要的問題，通過解決這個(gè)簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題 如此繼續(xù)下去 .從 3 3方隊(duì)中選 3人的方法 有 ___________種。 若第二方格內(nèi)填 1，則第三方格只能填 4，第四方格應(yīng)填 3。而元素相同時(shí)又要另行考慮 . 回目錄 構(gòu)造模型策略 例 . 馬路上有編號為 1,2,3,4,5,6,7,8,9的 九只路燈 ,現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3盞 ,但不能關(guān) 掉相鄰的 2盞或 3盞 ,也不能關(guān)掉兩端的 2 盞 ,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在 6盞 亮燈的 5個(gè)空隙中插入 3個(gè)不亮的燈 有 ________ 種 35C一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為 非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì) 模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決 回目錄 練習(xí)題 某排共有 10個(gè)座位，若 4人就坐，每人左右 兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？ 120 回目錄 八 .排列組合混合問題先選后排策略 例 .有 5個(gè)不同的小球 ,裝入 4個(gè)不同的盒內(nèi) , 每盒至少裝一個(gè)球 ,共有多少不同的裝 法 . 解 :第一步從 5個(gè)球中選出 2個(gè)組成復(fù)合元共 有 __種方法 .再把 5個(gè)元素 (包含一個(gè)復(fù)合 元素 )裝入 4個(gè)不同的盒內(nèi)有 _____種方法 . 25C44A根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有 _____ 25C44A解決排列組合混合問題 ,先選后排是最基本 的指導(dǎo)思想 .此法與 相鄰元素捆綁策略相似 嗎 ? 回目錄 練習(xí)題 一個(gè)班有 6名戰(zhàn)士 ,其中正副班長各 1人 現(xiàn)從中選 4人完成四種不同的任務(wù) ,每人 完成一種任務(wù) ,且正副班長有且只有 1人 參加 ,則不同的選法有 ________ 種 192 回目錄 3 名醫(yī)生和 6 名護(hù)士被分配到 3 所學(xué)校為學(xué)生體檢 ,每校分配 1 名醫(yī)生和 2 名護(hù)士 ,不同的分配方法共有多少種 ? 先選后排問題的處理方法 解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配） 5 4 0332426 ?? PCC回目錄 解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士 . 5 4 01)()( 24122613 ??? CCCC回目錄 為支援西部開發(fā) ,有 3名教師去銀川市三所學(xué)校任教 ,每校分配 1人 ,不同的分配方法共有 _______種 (用數(shù)字作答 ). 練習(xí) 改為 4名教師？ 改為 5名教師？ 回目錄 有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù) ,甲需 2人承擔(dān) ,乙、丙各需 1人承擔(dān) .從 10人中選派 4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù) ,不同的選法共有多少種 ? 回目錄 四名同學(xué)分配到三個(gè)辦公室去搞衛(wèi)生 ,每個(gè)辦公室至少去一名學(xué)生 ,不同的分配方法有多少種 ? 回目錄 有甲、乙、丙三項(xiàng)工程，甲需要 2 人承擔(dān)，乙、丙各需 1 人承擔(dān)，從 10 人中選派 4 人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的承擔(dān)方法共有 ___________種； 某辦公室有 5 人辦公，現(xiàn)要排一個(gè)周輪值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定值兩天，則不同的排表方式有 __________種； 學(xué)校決定下周對高一年級進(jìn)行教學(xué)情況抽測。 這十個(gè)數(shù)字中有 5 個(gè)偶數(shù) 5個(gè)奇數(shù) ,所取的三個(gè)數(shù)含有 3個(gè)偶數(shù)的取法有 ____,只含有 1個(gè)偶數(shù)的取法有 _____,和為偶數(shù)的取法共有 _________ 再淘汰和小于 10的偶數(shù)共 ___________ 符合條件的取法共有 ___________ 35C1255CC 9 013 015 017 024 026 035 125 123 134 1255CC35C+ 9 1255CC35C+ 有些排列組合問題 ,正面直接考慮比較復(fù)雜 ,而它的反面往往比較簡捷 ,可以先求出它的反面 ,再從整體中淘汰 . 回目錄 例：用 0， 1， 2， 3， 4這五個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù) 數(shù)字的三位數(shù)，其中 1不在個(gè)位的數(shù)共有 _______種。 例 10 七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有（ ） A. B. C D. 分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得 n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作 7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作 5名“客”，每個(gè)“客”有 7種住宿法，由乘法原理得 種。遼寧 )用１、２、３、４、５、６、７、８ 組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求１與２相鄰，３與４相鄰，５與６相鄰，而７與８不相鄰，這樣的八位數(shù)共有 ___________個(gè)．（用數(shù)字作答） 練 習(xí) 回目錄 (3)(2020 全國 II 理）從 6人中選 4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這 6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （ ） A． 300種 B． 240種 C． 144種 D． 96種 B （直接法）分三種情況： 情況一 ,不選甲、乙兩個(gè)去游覽 :則有 種選擇方案 , 情況二 :甲、乙中有一人去游覽：有 種選擇方案 ?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了 , 那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（ ） CDBAEF分析 :由加法原理可知 1 2 66 6 6 63C C C? ? ?????? ? ?由乘法原理可知： 2 2 2 2 2 21=63 回目錄 （ 1） 0， 1， 2， 3， 4， 5可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且能被五整除的五位數(shù)？ 練 習(xí) 1 分類：個(gè)位數(shù)字為 5或 0： 個(gè)位數(shù)為 0： 45A個(gè)位數(shù)為 5： 216341445 ??? AAA3414 AA ?回目錄 （ 2） 0， 1， 2， 3， 4， 5可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且大于 31250的五位數(shù)？ 分類： 引申 1： 31250是由 0， 1， 2， 3， 4， 5組成的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中從小到大第幾個(gè)數(shù)？ 3251231234134512 ?????? AAAAAA2753254515 ??? AA275122 12233445 ?????? AAAA方法一：（排除法） 方法二：（直接法） 引申 2：由 0， 1， 2， 3， 4， 5組成的無重復(fù)數(shù)字的 五位數(shù)中大于 31250，小于 50124的數(shù)共有多少個(gè)？ (2020 問題 . 教學(xué)目標(biāo) 計(jì)數(shù)原理。因而對這類問題歸納總結(jié)，并把握一些常見解題模型是必要的。m n 種不同的方法 . 回目錄 ： 名 稱 排 列 組 合 定義 種數(shù) 符號 計(jì)算 公式 關(guān)系 性質(zhì) ， mnA mnC( 1 ) ( 1 )mnA n n n m? ? ??? ? ?!( ) !mnnAnm? ? ! 0 ! 1nnAn??!)1()1(mmnnnC mn???????)!(!!mnmnC mn ?? 10 ?nCm m mn n mA C A??mnnmn CC ?? 11 ?? ?? mnmnmn CCC從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元 素， 按一定的順序 排成一列 從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元 素， 把它并成 一組 所有排列的的個(gè)數(shù) 所有組合的個(gè)數(shù) 11mmnnA nA???回目錄 。 解法 1 分析：先安排甲，按照要求對其進(jìn)行分類，分兩類： 根據(jù)分步及分類計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有 例 1 6個(gè)同學(xué)和 2個(gè)老師排成一排照相， 2個(gè)老師站中間，學(xué)生甲不站排頭，學(xué)生乙不站排尾，共有多少種不同的排法？ 1）若甲在排尾上，則剩下的 5人可自由安排，有 種方法 . 55A2) 若甲在第 7位，則 排尾的排法有 種， 1位的排法有 種 , 第 7位的排法有 種 ，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的站法有 種。分步層次清楚，不重不 漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的 始終。北京 要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題 ,可以用 捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素合并 為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時(shí) 要注意合并元素內(nèi)部也必須排列 . 回目錄 例 5個(gè)男生 3個(gè)女生排成一排 ,3個(gè)女生要排在一起 ,有多少種不同的排法 ? 33P66P3366 PP解 因?yàn)榕旁谝黄?,所以可以將 3個(gè)女生看成是一個(gè)人 ,與 5個(gè)男生作全排列 ,有 種排法 ,其中女生內(nèi)部也有 種排法 ,根據(jù)乘法原理 ,共有 種不同的排法 . 結(jié)論 捆綁法 :要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題 ,可以用捆綁法來解決問題 .即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素 ,再與其它元素一起作排列 ,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列 . 分析 此題涉及到的是排隊(duì)問題 ,