【導(dǎo)讀】列中所有的排列；能用排列數(shù)公式計算。排列、排列數(shù)的概念。學(xué)參加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的字母，在4個字母中任取1個，由分步計數(shù)原理共有：4×3×2=24種不同的方法，用樹型圖排出，并寫出所有的排列由此可。相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。表示具體的排列。求mnA以按依次填m個空位來考慮mnAnnnnm?????全排列數(shù)公式如下：[來。；把正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘表示：!5人站成一排照相，共有多少種不同的站法？某年全國足球甲級（A組）聯(lián)。賽共有14隊參加，每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽1次，共進(jìn)行多少場比賽？解：原不等式即9!常用來求值，特別是,mn均為已知時，公式。，常用來證明或化簡。

　　

【正文】 種，所以共有 43451440AA?? 種；（ 3）先排甲、乙，有 22A 種排法，甲、乙兩人中間插入的 2人是從其余 5人中選，有 25A 種排法，將已經(jīng)排好的 4人當(dāng)作一個大元素作為“新人”參加下一輪 4人組的排列，有 44A 種排法，所以總的排法共有 2242 5 4 960AAA? ? ? 種． 附： 用 8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求 1和 2相鄰， 3與 4相鄰， 5與 6相鄰 ，而 7與 8不 ． 相鄰，這樣的八位數(shù)共有 個 .（用數(shù)字作答） 解析：第一步、將 1和 2“捆綁”成一個大元素， 3和 4“捆綁”成一個大元素， 5和 6“捆綁”成一個大元素， 第二步、排列這三個大元素，第三步、在這三個大元素排好后產(chǎn)生的 4個空擋中的任何 2 個排列 7 和 8，第四步、 “釋放”每個大元素（即大元素內(nèi)的每個小元素在“捆綁”成的大元素內(nèi)部排列）， 所以共有 3234 2 2 2 5 7 6AA? ? ? ? ?個數(shù)． 某校高三年級舉行一次演講賽共有 10位同學(xué)參賽，其中一班有 3位， 二班有 2位，其它班有 5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有 3位同學(xué)恰 好被排 在一起（指演講序號相連），而 二班的 2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為 （ ） A． 110 B． 120 C． 140 D． 1120 解析：符合要求的基本事件（排法）共有：第一步、將一班的 3位同學(xué) “捆綁”成一個大元素， 第二步、這個大元素與其它班的 5位同學(xué)共 6個元素的全排列，第三步、在這個大元素與其它班的 5位同學(xué)共 6個元素的全排列排好后產(chǎn)生的 7個空擋中排列二班的 2位同學(xué)，第四步、 “釋放” 一班的 3 位同學(xué) “捆綁”成的大元素， 所以共有 6 2 36 7 3A A A??個；而基本事件總數(shù)為 1010A 個，所以符合條件的概率 為 6 2 36 7 31010 120A A AP A????． 故選 （ B ）． 某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目 .如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） 解析：分兩類：增加的兩個新節(jié)目不相鄰和相鄰，兩個新節(jié)目不相鄰采用 “插空法”，在 5個節(jié)目產(chǎn)生的 6 個空擋排列 共有 26 30A? 種，將 兩個新節(jié) 目 “捆綁”作為一個元素叉入 5個節(jié)目產(chǎn)生的 6 個空擋中的一個位置 ，再“釋放” 兩個新節(jié)目 “捆綁”成的大 元素，共有 126212AA??種，再將兩類方法數(shù)相加得 42種方法．故選 （ A ）． 三 .機(jī)會均等排列問題 (即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題 ) 解決 機(jī)會均等排列問題通常是先對所有元素進(jìn)行全排列 ,再借助等可能轉(zhuǎn)化，即乘以符合要求的某兩（或某些）元素按特定的方式或順序排列的排法占它 們（某兩（或某些）元素）全排列的比 例，稱為“等機(jī)率法”；或?qū)⑻囟樞虻呐帕袉栴}理解為組合問題加以解決 . 例 7位同學(xué)站成一排． (1)甲必須站在乙的左邊 ? (2)甲、乙和丙三個同學(xué)由左到右排列 ? 解析：（ 1） 7位同學(xué)站成一排總的排法共 77A 種 ,包括甲、乙在內(nèi)的 7位同學(xué)排隊只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊兩類，它們的機(jī)會是均等的，故滿足要求的排法為 7721A，本題也可 將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決，即先在 7個位置中選出 2個位置安排甲、乙 , 由于甲在乙的左邊共有 27C 種，再將其余 5人在余下的 5個位置排列有 55A 種，得排法數(shù)為 2575CA? 種； [來源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] （ 2）參見（ 1）的分析得3377AA（或 4437 AC? ）． 本文通過較為清晰的脈絡(luò)把排列問題分為三種類型，使我們對排列問題有了比較系統(tǒng)的認(rèn)識 . 但由于排列問題種類繁多，總會有些問題不能 囊括其中，也一定存在許多不足 ,希望讀者能和我一起研究完善． [來源 :Zx x k .Co m][來源 : x .k .Co m] 對排列組合中的“分配”問題的探究 知識整合： 一、解決排列組合綜合問題時，必須深刻理解排列組合的概念，能夠熟練確定一個問題是排列還是組合問題，牢記排列數(shù)和組合數(shù)的公式以及組合數(shù)的性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯誤主要是在分類的過程中，標(biāo)準(zhǔn)不明確，前后不統(tǒng) 一，要么重復(fù)，要么遺漏，因此在解題時要認(rèn)真的分析題目的條件，作出正確的分類或分步； 二、解決排列組合綜合問題時，要注意 ① 把具 體問題轉(zhuǎn)化為排列或組合問題。 ② 通過分析確定是采用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理。 ③ 分析題目的條件，避免選取時重復(fù)或遺漏。 ④ 列處計算公式，通過排列數(shù)或組合數(shù)公式計算結(jié)果。 下面對排列組合中的“分配”問題做出簡單的探究 排列組合中的“分配”問題是排列組合中的一類常見問題 ，如：教師分配到班級中教學(xué)；護(hù)士、醫(yī)生分配的學(xué)校給學(xué)生查體；小球放置在有標(biāo)號的盒子里等都是排列組合中的常見“分配問題”；下面通過例題，對常見的幾種“分配”問題簡單作出探究： 相同元素的“分配”問題 例 有 10名三好學(xué)生名額，分配到高三年 級的 6 個班，每班至少一個名額，共有多少種不同的分配方案？ 分析：作為 10個三好學(xué)生名額，可以看成是相同元素，分配到高三年級的 6個班中 ，將是相同元素的分配問題，常用的方法是采用“隔板法”； 解： 6個班分 10個名額，用 5個隔板，將 10 個名額并成一排， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，名額之間有 9個空隙，將 5個隔板插入 9個空中， 則每種插法對應(yīng)一種方案，共有 59 126C ? 中不 同的分配方案； 變式練習(xí)： 將 6個相同的小球放進(jìn)三個不同的盒子，每個盒子都不空，共有多少中不同的放法？ 不同元素的“分配”問題 分析：不同元素 的“分配”問題，有時比較容易混淆，作為分配問題，可以分兩步來完成，先分組后發(fā)放的原則，這樣就對分配問題有更加明確的理解； 例 有不同的 6本書分別分給甲、乙、丙三人， ⑴如果甲 1本，乙 2本，丙 3本有多少種方法？ [來源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] ⑵如果一人 1本，一人 2本，一人 3本，共有多少種方法？ ⑶平均分成 3堆，每堆 2本，共有多少種分法？ ⑷如果每人 2本，共有多少種分法？ 解：⑴先對 6本書進(jìn)行分組，分成 1本 2本 3本的三組，共有 1 2 36 5 3 60C C C? ? ? 種， 后發(fā)放給甲、乙、丙三人，甲得 1本，乙得 2本、丙得 3本， 所以共有 1 2 36 5 3 60C C C? ? ? 種方法。 ⑵先對 6本書進(jìn)行分組，分成 1 本 2本 3本的三組，共有 1 2 36 5 3 60C C C? ? ? 種分法，后發(fā)放給甲、乙、丙三人有 33A 種發(fā)放方式， 所以共有： 1 2 3 36 5 3 3 60 6 36 0C C C A? ? ? ? ? ?種分配方式； ⑶分析：此題牽扯到不同元素的均分問題，把不同的 6本書均分成無明顯標(biāo)志的三堆，例如把不同的兩個元素，分成無明顯標(biāo)志的兩堆，只有一種分 法，即： 112112!CC? ； [來源 :學(xué)科網(wǎng) ] 解：把 6本不同的書均分成為三堆，共有： 2 2 2 2 2 26 4 2 6 4 233 153!C C C C C CA??種不同的分法； ⑷解：把 6 本不同的書均分給甲、乙、丙三人，先對 6 本不同的書作出均分成三組，有 2226 4 233CCCA種分法，后發(fā)放給甲、乙、丙三人，有 33A 種方法， [來源 :] 所以，共有 222 36 4 2333 90CCC AA ??種不同的方法； [來源 :學(xué) 167。 科 167。 網(wǎng) ] 例 把 6個不同的小球放在編號為 ,abc的三個盒子里，要求每個盒子都不空，共有多少種不同的方法？ 分析：此題就可以看成把 6 個小球分配到 ,abc三個盒子中的一個分配問題，可以看成兩步來解決，先分組后發(fā)放的原則； 解：先不 6 個不同的小球，分成三組，分組的方式有：按個數(shù) 1,2,3 ， 2,2,2 ， 1,1,4 分組，按個數(shù) 1,2,3 分組，則 有 1 2 36 5 3C C C??種；按個數(shù) 2,2,2 ，則有 2226 4 233CCCA種； 按個數(shù) 1,1,4 分組，則有 1 1 46 5 422CCCA種； [來源 :學(xué)科網(wǎng) ] 后放 置在標(biāo)號為 ,abc三 個盒子，有 33A 種方法； 所以，共有 2 2 2 1 1 41 2 3 36 4 2 6 5 46 5 3 332 540C C C C C CC C C AAA??? ? ? ? ? ?????種不同的方法； 點評：對于不同元素的 分配問題，可以利用分步計數(shù)原理，看成是有兩步才能完成，一步是分組，二步是發(fā)放，這樣對排列組合中的分配問題就更加明確， 更加容易理解，但在 分組中，對于整體均分問題或內(nèi)部 的小均分，要特別注意它的做法。