【正文】 。 科 167。 下面對(duì)排列組合中的“分配”問題做出簡單的探究 排列組合中的“分配”問題是排列組合中的一類常見問題 ，如：教師分配到班級(jí)中教學(xué)；護(hù)士、醫(yī)生分配的學(xué)校給學(xué)生查體；小球放置在有標(biāo)號(hào)的盒子里等都是排列組合中的常見“分配問題”；下面通過例題，對(duì)常見的幾種“分配”問題簡單作出探究： 相同元素的“分配”問題 例 有 10名三好學(xué)生名額，分配到高三年 級(jí)的 6 個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，共有多少種不同的分配方案？ 分析：作為 10個(gè)三好學(xué)生名額，可以看成是相同元素，分配到高三年級(jí)的 6個(gè)班中 ，將是相同元素的分配問題，常用的方法是采用“隔板法”； 解： 6個(gè)班分 10個(gè)名額，用 5個(gè)隔板，將 10 個(gè)名額并成一排， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，名額之間有 9個(gè)空隙，將 5個(gè)隔板插入 9個(gè)空中， 則每種插法對(duì)應(yīng)一種方案，共有 59 126C ? 中不 同的分配方案； 變式練習(xí)： 將 6個(gè)相同的小球放進(jìn)三個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子都不空，共有多少中不同的放法？ 不同元素的“分配”問題 分析：不同元素 的“分配”問題，有時(shí)比較容易混淆，作為分配問題，可以分兩步來完成，先分組后發(fā)放的原則，這樣就對(duì)分配問題有更加明確的理解； 例 有不同的 6本書分別分給甲、乙、丙三人， ⑴如果甲 1本，乙 2本，丙 3本有多少種方法？ [來源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] ⑵如果一人 1本，一人 2本，一人 3本，共有多少種方法？ ⑶平均分成 3堆，每堆 2本，共有多少種分法？ ⑷如果每人 2本，共有多少種分法？ 解：⑴先對(duì) 6本書進(jìn)行分組，分成 1本 2本 3本的三組，共有 1 2 36 5 3 60C C C? ? ? 種， 后發(fā)放給甲、乙、丙三人，甲得 1本，乙得 2本、丙得 3本， 所以共有 1 2 36 5 3 60C C C? ? ? 種方法。 ③ 分析題目的條件，避免選取時(shí)重復(fù)或遺漏。 高考排列問題的解決方案 內(nèi)容提要 :本文把常見的排列問題歸納成三種典型問題，并在排列的一般規(guī)定 性下，對(duì)每一種類型的問題通過典型例題歸納出相應(yīng)的解決方案，并附 以近年的高考原題及解析 ,使我們對(duì)排列問題的認(rèn)識(shí)更深入本質(zhì) ,對(duì)排列問題的解決更有章法可尋． 關(guān)鍵詞 : “ 特殊優(yōu)先 ” ,“大元素”，“捆綁法” ,“插空法” ,“等機(jī)率法” [來源 :學(xué)科網(wǎng) ] 排列問題的應(yīng)用題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高考的必考內(nèi)容 ,筆者在教學(xué)中嘗試將排列 問題歸納為三種類型來解決： 1.2.3.?????????能 排 不 能 排 排 列 問 題排 列 應(yīng) 用 題 相 鄰 不 相 鄰 排 列 問 題機(jī) 會(huì) 均 等 排 列 問 題 下面就每一種題型結(jié)合例題總結(jié)其特點(diǎn)和解法，并附以近年的高考原題供讀者參研． 一 . 能排不能排排列問題 (即特殊元素在特 殊位置上有特別要求的排列問題 ) 解決此類問題的關(guān)鍵是特殊元素或特殊位置優(yōu)先 .或使用間接法． 例 1．（ 1） 7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？ (2)7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？ (3)7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？ (4)7位同學(xué)站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種？ 解析 :(1)先考慮甲站在中間有 1種方法，再在余下的 6個(gè)位置排另外 6位同學(xué)，共 66A 種方法； (2)先考慮 甲、乙站在兩端的排法有 22A 種，再在余下的 5個(gè)位置排另外 5位同學(xué)的排法有 55A種，共 5522 AA? 種方法； (3) 先考慮在除兩端外的 5個(gè)位置選 2個(gè)安排 甲、乙有 25A 種，再在余下的 5個(gè)位置排另外5位同學(xué)排法有 55A 種，共 5525 AA? 種方法；本題也可考慮特殊位置優(yōu)先 ,即兩端的排法有 25A ,中間 5個(gè)位置有 55A 種，共 5522 AA? 種方法； (4)分兩類乙站在排頭和乙不站在排頭，乙站在排頭的排法共有 66A 種，乙不站在排頭的排法總數(shù)為：先在除甲、乙外的 5 人中選 1 人安排在排頭的方法有 15A 種，中間 5個(gè)位置選 1 個(gè)安排乙的方法有 15A ，再在余下的 5 個(gè)位置排另外 5 位同學(xué)的排法有 55A ，故共有?? 1566 AA 5515 AA? 種方法；本題也可考慮間接法，總排法為 77A ，不符合條件的甲在排頭和乙站排尾的排法均為 66A ，但這兩種情況均包含了甲在排頭和乙站排尾 的情況，故共有7 6 57 6 52A A A??種． 例 ，要排政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，共有多少種不同的排課方法？ 解法 1：對(duì)特殊元素 — 數(shù)學(xué)和體育進(jìn)行分類解決 （ 1）數(shù)學(xué)、體育均不排在第一節(jié)和第六節(jié) ，有 24A 種，其他有 44A 種，共有 2444AA? 種； （ 2） 數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié)有一種 ，其他有 44A 種，共有 44A 種； （ 3） 數(shù)學(xué)排在第一節(jié)、體育不在第六節(jié)有 14A 種，其他有 44A 種，共有 1444AA? 種； （ 4） 數(shù) 學(xué)不排在第一節(jié)、體育排在第六節(jié) 有 14A 種，其他有 44A 種，共有 1444AA? 種； 所以符合條件的排法共有 ? ?2 1 4 44 4 4 42 1 2 1 5 0 4A A A A? ? ? ?種 解法 2：對(duì)特 殊位置 — 第一節(jié)和第六節(jié)進(jìn)行分類解決 （ 1）第一節(jié)和第六節(jié)均不排數(shù)學(xué)、體育 有 24A 種，其他有 44A 種，共有 2444AA? 種； （ 2） 第一節(jié)排數(shù)學(xué)、第六節(jié)排體育有一種 ，其他有 44A 種，共有 44A 種； （ 3） 第一節(jié)排數(shù)學(xué)、第六節(jié)不排體育有 14A 種，其他有 44A 種，共有 1444AA? 種； （ 4） 第一節(jié)不排數(shù)學(xué)、第六節(jié)排體育 有 14A 種，其他有 44A 種，共有 1444AA? 種； 所以符合條件的排法共有 ? ?2 1 4 44 4 4 42 1 2 1 5 0 4A A A A? ? ? ?種． 解法 3：本題也可采用間接排除法解決 不考慮任何限制條件共有 66A 種排法，不符合題 目要求的排法有： （ 1）數(shù)學(xué)排在第六節(jié) 有 55A種；（ 2） 體育排在第一節(jié) 有 55A 種；考慮到這兩種情況均包含了 數(shù)學(xué)排在第六節(jié)和體育排在第一節(jié)的情況 44A 種 所以 符合條件的排法共有 6 5 46 5 42 5 0 4A A A? ? ?種 附： 五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建 1 項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建 1號(hào)子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有 ( ) （ A） 1444CC 種 （ B） 1444CA種 （ C） 44C 種 （ D） 44A 種 [來源 :學(xué) _科 _網(wǎng) Z_X_X_K] 解析：本題在解答時(shí)將 五個(gè)不同的子項(xiàng)目理解為 5個(gè)位置，五個(gè)工程隊(duì)相當(dāng)于 5個(gè)不同的元素，這時(shí)問題 可歸結(jié)為能排不能排排列問 題 (即特殊元素在特殊位置上有 特別要求的排列問題 )，先排 甲工程隊(duì)有 14C ，其它 4個(gè)元素在 4個(gè)位置上的排法為 44A 種，總方案為 1444CA種．故選 (B)． 在由數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，不能被 5整除的數(shù)共有 個(gè) . 解析：本題在解答時(shí)只須考慮個(gè)位和千位這兩個(gè)特殊位置的 限制，個(gè)位為 4中的某一個(gè)有 4種方法，千位在余下的 4個(gè)非 0數(shù)中選擇也有 4種方法，十位和百位方法數(shù)為 24A種，故方法總數(shù)為 244 4 192A? ? ? 種． 從 6人中選出 4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城 市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這 6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 （ ） A． 300種 B． 240種 C． 144種 D． 96種 解析：本題在解答時(shí)只須考慮巴黎這個(gè)特殊位置的要求有 4種方法，其他 3個(gè)城市的排法看 作標(biāo)有這 3 個(gè)城市的 3 個(gè)簽在 5 個(gè)位置（ 5 個(gè)人）中的排列有 35A 種，故方法總數(shù)為354 240A?? 種．故選（ B）． 上述問題 歸結(jié)為能排不能排排列問題，從特殊元素和特殊位置入手解決 ,抓住了問題的本質(zhì)，使問題清晰明了，解決起來順暢自然． 二 .相鄰不相鄰排列問題 (即某兩或某些元素不 能相鄰的排列問題 ) 相鄰排列問題一般采用大元素法 ,即將相鄰的元素“捆綁”作為一個(gè)元素，再與其他元素進(jìn)行排列，解答時(shí)注意“釋放”大元素，也叫“捆綁法”．不相鄰排列問題 (即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題 )一般采用“插空法”． 例 3． 7位同學(xué)站成一排， (1)甲、乙和丙三 同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？ (2)甲、乙和丙三名同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？ （ 3）甲、乙兩同學(xué)間恰好間隔 2人的排法共有多少種？ 解析： (1)第一步、將甲、乙和丙三人 “捆綁”成一個(gè)大元素與另外 4人的排列為 55A 種， 第二步、 “釋放”大 元素，即 甲、乙和丙在 “捆綁”