【正文】 道，停放 4 列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放 1 列火車）？ 8．一部紀(jì)錄影片 在 4 個單位輪映，每一單位放映 1 場， 有多少種輪映次序？ 答案： 1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. ? ?2,3,4,5,6 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 （三） 1．將 1， 2， 3， 4 填入標(biāo)號為 1， 2， 3， 4 的四個方格里，沒格填一個數(shù)字，則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法（ ）種 . A ． 6 B ． 9 C ． 11 D ． 23 2．有 5 列火車停在某 車站并排的五條軌道上，若快車 A 不能停在第三條軌道上，貨車 B 不能停在第一條軌道上，則五列火車的停車方法有（ ）種 . A ． 78 B ． 72 C ． 120 D ． 96 3．由 0， 3， 5， 7 這五個數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中是 5 的倍數(shù)的共有多少個（ ） A ． 9 B ． 21 C ． 24 D ． 42 4．從 9, 5,0,1, 2,3,7?? 七個數(shù)中，每次選不重復(fù)的三個數(shù)作為直線方程 0ax by c? ? ? 的系 數(shù)，則傾斜角為鈍角的直線共有（ ）條 . A ． 14 B ． 30 C ． 70 D ． 60 5．從 4 種蔬菜品種中選出 3 種，分別種在不同土質(zhì)的 3 塊土地上進(jìn)行實驗，有 _____種不同的種植方法 6． 9 位同學(xué)排成三排，每排 3 人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，這樣的排法種數(shù)共有 種。 解：（ 1）先將男生排好，有 55A 種排法；再將 5 名女生插在男生之間的 6 個 “空擋 ”（包括兩端）中，有 552A 種排法。 解： ⑴ 原式 1 1 1 1 1 1 11! 2 ! 2 ! 3 ! 3 ! 4 ! ( 1 ) ! !nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ??11 !n? ⑵ 提示：由 ? ? ? ?1 ! 1 ! ! !n n n n n n? ? ? ? ? ?，得 ? ?! 1 ! !n n n n? ? ? ?， 原式 ? ?1 ! 1n? ? ? 。 【例 2】（ 1）若 17 16 15 5 4mnA ? ? ? ? ? ?，則 n? ， m? ． （ 2）若 ,nN? 則 ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 6 8 ) ( 6 9 )n n n n? ? ? ?用排列數(shù)符號表示為 ． 解：（ 1） n? 17， m? 14 ． （ 2）若 ,nN? 則 ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 6 8 ) ( 6 9 )n n n n? ? ? ?＝ 1569nA? ． 【例 3】（ 1）從 2,3,5,7,11 這五個數(shù)字中，任取 2 個數(shù)字組成分?jǐn)?shù)，不同值的分?jǐn)?shù)共有多少個？（ 2） 5 人站成一排照相，共有多少種不同的站法？（ 3）某年全國足球甲級（ A 組）聯(lián)賽共有 14 隊參加，每隊都要與其余各隊在主客場分別比賽 1 次，共進(jìn)行多少場比賽？ 解：（ 1） 25 5 4 20A ? ? ? ；（ 2） 55 5 4 3 2 1 1 2 0A ? ? ? ? ? ?；（ 3） 214 14 13 18 2A ??? 【例 4】計 算： ① 66248 108! AAA??； ② 11( 1)!( )!nm mA m n?? ??． 解： ① 原式 8 7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 18 7 1 0 9 8 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = 5 7 6 5 4 3 2 5 1 3 05 6 ( 8 9 ) 6 2 3? ? ? ? ? ???? ； ② 原式 ( 1) ! 1( 1) !( ) !( ) !mmmnmn??????． 【例 5】解方程： 3 3 2 2126x x xA A A???． 解：由排列數(shù)公式得： 3 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) 6 ( 1 )x x x x x x x? ? ? ? ? ?， ∵ 3x? ， ∴ 3 ( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) 6 ( 1 )x x x x? ? ? ? ? ?，即 23 17 10 0xx? ? ?， 解得 5x? 或 23x? ， ∵ 3x? ，且 xN?? ， ∴ 原方程的解為 5x? ． 【例 6】解不等式： 2996xxAA?? ． 解：原不等式即 9 ! 9 !6(9 ) ! (1 1 ) !xx????， 也就是 16( 9 ) ! (1 1 ) (1 0 ) ( 9 ) !x x x x?? ? ? ? ? ?，化簡得： 2 21 104 0xx? ? ?， 解得 8x? 或 13x? ，又 ∵ 29x??，且 xN?? ， 所以，原不等式的解集為 ? ?2,3,4,5,6,7 ． 【例 7】求證：（ 1） n m n mn n n mA A A ???? ；（ 2） ( 2 ) ! 1 3 5 ( 2 1)2!n n nn ? ? ? ??． 證明：（ 1） ! ( ) ! !( ) !m n mn n m nA A n m nnm??? ? ? ??nnA?， ∴ 原式成立 [來源 : x .k .Co m] （ 2） ( 2 ) ! 2 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 4 3 2 12 ! 2 !nnn n n n? ? ? ? ? ? ???? 2 ( 1 ) 2 1 ( 2 1 ) ( 2 3 ) 3 12!n nn n n nn? ? ? ? ? ? ?? ? ! 1 3 ( 2 3 ) ( 2 1 )!n n nn? ? ? ???1 3 5 (2 1)n? ? ?右邊 ∴ 原式成立 說明 ： （ 1）解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù) mnA 中， ,mn N?? 且 mn? 這些限制條件 ，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍； （ 2）公式 ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ?常用來求值，特別是 ,mn均為已知時，公式mnA = !( )!nnm? ，常用來證明或化簡。全排列數(shù)公式如下： [來源 :學(xué)科網(wǎng) ZXXK] ( 1 ) ( 2 ) 2 1 !nnA n n n n? ? ? ? ?（叫做 n 的階乘） 4．階乘的概念： n 個不同元素全部取出的一個排列，叫做 n 個不同元素的一個全排列，這時 ( 1 ) ( 2 ) 3 2 1nnA n n n? ? ? ? ?；把正 整數(shù) 1 到 n 的連乘積，叫做 n 的階乘表 示： !n ， 即nnA? !n 規(guī)定 0! 1? ． 5．排列數(shù)的另一個計算公式： ( 1 ) ( 2) ( 1 )mnA n n n n m? ? ? ? ? ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( ) 3 2 1( ) ( 1 ) 3 2 1n n n n m n mn m n m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? !( !nnm? 即 mnA = !( )!nnm? 。 說明：（ 1）排列的定義包括兩個方面： ① 取出元素， ② 按一定的順序排列； （ 2）兩個排列相同的條件： ① 元素完全相同， ② 元素的排列順序也相同 2．排列數(shù)的定義： 從 n 個不同元素中，任取 m （ mn? ）個元素的所有排列的個數(shù)叫做從 n 個元素中取出 m 元素的排列數(shù)，用符號 mnA 表示 注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同： “一個排列 ”是指：從 n 個不 同元素中，任取 m 個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù) ”是指從 n 個不同 元素中，任取 m（ mn? ） 個元素 的所有排列的 個數(shù)，是一個數(shù)所以符號 mnA 只表示排列數(shù)，而 不表示具體的排列。 【教學(xué)難點】排列數(shù)公式的推導(dǎo) 一、問題情景 〖問題 1〗從甲、乙、丙 3 名同學(xué)中選取 2 名同學(xué)參加某一天的一項活動，其中一名同學(xué)參加上午的活動，一名同學(xué)參加下午的活動，有多少種不同的方法？ 分析：這個問題就是從甲、乙、丙 3 名同學(xué)中每次選取 2 名同學(xué)，按照參加上午的活動在前，參加下午活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，共有 6 種不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的對象叫做元素。 排 列 【教學(xué)目的】理解排列、排列數(shù)的概念，了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)；能用 “樹型圖 ”寫出一個排列中所有的排列；能用排列數(shù)公式計算。 【教學(xué)重點】排列、排列數(shù)的概念。 〖問題 2〗．從 , , ,abcd 這四個字母中，每次取出 3 個按順序排成一列，共有多少種不同的排法？ 分析：解決這個問題分三個步驟：第一步先確定左邊的字母，在 4 個字母中任取 1 個，有 4 種方法；第二步確定中間的字母，從余下的 3 個字母中取，有 3 種方法；第三步確定右邊的字母，從余下的 2 個字母中取，有 2 種方法 由分