【正文】 根據(jù)它們的條件 ,我們就可以選取不同的技巧來解決問題 .對于一些比較復雜的問題 ,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應用把復雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學習打下堅實的基礎。排列組合歷來是學習中的難點，通過我們平時做的練習題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以驗證。依上法有 13A44A 14341N AA?14242N AA?12= + = 1 2 0 ( )NN故 個N 回目錄 （ 1）練習 :（徐州二檢）從 6人中選 4人組成4 100m接力賽，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少種選法？ 分析：（一）直接法 （二）間接法 （ 2） 從正方體的 8個頂點中選 4個作四面體，則不同的四面體的個數(shù)為 。把 6分成 4組，（ 3， 3），（ 6），（ 1， 5），（ 2， 4），每組的數(shù)字和都是 3的倍數(shù)。 例 由 1， 2， 3， 4， 5， 6六個數(shù)字可以組成多少個無重復且是 6的倍數(shù)的五位數(shù)？ 分析數(shù)字特征： 6的倍數(shù)既是 2的倍數(shù)又是 3的倍數(shù)。再從 5 5方隊選出 3 3 方隊便可解決問題 1 1 13 2 1C C C回目錄 對應法 例 1在 100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場？ 分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰 99名選手，淘汰一名選手需要進行一場比賽，所以淘汰 99名選手就需要 99場比賽。 解： 1 2 1 16 5 2 2 240C C C C? ? ? ?回目錄 練習 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有 ____種 解： 4 4 1 412 6 2( ) 255C C C? ? ?回目錄 對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用 公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀 圖會收到意想不到的結(jié)果 練習題 1. 同一寢室 4人 ,每人寫一張賀年卡集中起來 , 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9) ,要求相鄰區(qū) 域不同色 ,現(xiàn)有 4種可選顏色 ,則 不同的著色方法有 ____種 2 1 3 4 5 72 回目錄 分解與合成策略 例 . 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除 分析：先把 30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2 3 5 7 11 13依題 意可知偶因數(shù)必先取 2,再從其余 5個 因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有 的偶因數(shù)為： 0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 5C C C C C C? ? ? ? ?例 8個頂點可連成多少對異面 直線 回目錄 解：我們先從 8個頂點中任取 4個頂點構(gòu)成四 體共有體共 __________ 每個四面體有 ___ 對異面直線 ,正方體中的 8個頂點可連成 ____________對異面直線 48 12 58C ??3 3 58=174 分解與合成策略是排列組合問題的一種最 基本的解題策略 ,把一個復雜問題分解成幾 個小問題逐一解決 ,然后依據(jù)問題分解后的 結(jié)構(gòu) ,用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問 題合成 ,從而得到問題的答案 ,每個比較復 雜的問題都要用到這種解題策略 回目錄 化歸策略 例 . 25人排成 5 5方隊 ,現(xiàn)從中選 3人 ,要 求 3人都不在同一行也不在同一列 ,不同的 選法有多少種？ 解： 將這個問題退化成 9人排成 3 3方隊 ,現(xiàn)從中選 3人 ,要求 3人不在同一行也不在同一列 ,有多少選法 .這樣每行必有 1人從其中的一行中選取 1人后 ,把這人所在的行列都劃掉， 回目錄 從 5 5方隊中選取 3行 3列有 _____選法 所以從 5 5方隊選不在同一行也不在同 一列的 3人有 __________________選法。 回目錄 實際操作窮舉策略 例 .設有編號 1,2,3,4,5的五個球和編號 1,2 3,4,5的五個盒子 ,現(xiàn)將 5個球投入這五 個盒子內(nèi) ,要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同 ,. 有多少投法？ 解： 從 5個球中取出 2個與盒子對號有 _____種 還剩下 3球 3盒序號不能對應， 利用實際 操作法，如果剩下 3,4,5號球 , 3,4,5號盒 3號球裝 4號盒時，則 4,5號球有只有 1種裝法 3號盒 4號盒 5號盒 3 4 5 25C回目錄 實際操作窮舉策略 例 .設有編號 1,2,3,4,5的五個球和編號 1,2 3,4,5的五個盒子 ,現(xiàn)將 5個球投入這五 個盒子內(nèi) ,要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同 ,. 有多少投法？ 解： 從 5個球中取出 2個與盒子對號有 _____種 還剩下 3球 3盒序號不能對應， 25C利用實際 操作法，如果剩下 3,4,5號球 , 3,4,5號盒 3號球裝 4號盒時，則 4,5號球有只有 1種裝法 , 25C 同理 3號球裝 5號盒時 ,4,5號球有也 只有 1種裝法 ,由分步計數(shù)原理有 2 種 回目錄 練 習 ：（不對號入座問題） （ 1）（ 2020湖北）將標號為 1， 2， 3， …… ， 10的 10個球放入標號為 1， 2， 3， …… ， 10的 10個盒子中， 每個盒內(nèi)放一個球，恰好有 3個球的標號與其所在盒子 的標號不一致的放入方法有 ___________種 310 2C ?（ 2）編號為 5的五個球放入編號為 5的五個盒子里，至多有 2個對號入座的情形有 ___________種 109 直接法： 3 4 55 5 52 9 44 10 9C C C? ? ? ? ? ?間接法： 5355 1 1 10 9AC? ? ? ?回目錄 注意區(qū)別“恰好”與“至少” 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480種（ B） 240種 （ C） 180種 （ D） 120種 小結(jié)：“恰好有一個”是“只有一個”的意思。因而，第一格填 2有 3種方法。 若第二方格內(nèi)填 3，則第三方格只能填 4，第四方格應填 1。如填 2，則第二方格中內(nèi)可填 1或 3或 4。 例 將數(shù)字 1， 2， 3， 4填入標號為 1， 2， 3， 4的四個方格內(nèi)，每個方格填 1個，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ） 分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實驗法逐步解決。 基礎訓練 回目錄 練習 某學習小組有 5個男生 3個女生，從中選 3名男生和 1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有 1人參加，則有不同參賽方法______種 . 解：采用先組后排方法 : 3 1 2 35 3 4 3 1080C C C A? ? ? ?回目錄 小結(jié)： 本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素（即組合）后排列。決定基礎科抽兩門，文科、理科各抽一門，技能科（音、體、美、信）抽一門。 m等分的組合問題是非等分情況的 。 2226 4 2CCC2226 4 2CCC33A2226 4 2CCC33A平均分成的組 ,不管它們的順序如何 ,都是一種情況 ,所以分組后要一定要除以 (n為均分的組數(shù) )避免重復計數(shù)。 24A24A35A13A392 132435 ??? AAA24A 24A13A種排法。 間接法 (總體淘汰法 ,正難則反） 對于含有否定詞語的問題，還可以從總體中把不符合要求的減去，此時應注意 既不能多減又不能少減。 69 84C ?（ 2）不定方程 的正整數(shù)解共有（ ）組 1 2 3 710x x x x? ? ? ? ?69 84C ?回目錄 練習題 5個盒中 ,每盒至少一 有多少裝法？ 2 .x+y+z+w=100求這個方程組的自然數(shù)解 的組數(shù) 3103C49C回目錄 小結(jié)： 把 n個相同元素分成 m份 ,每份至少 1個元素 ,問有多少種不同分法的問題可以采用 “ 隔板法 ” 得出共有 種 . 11mnC ??回目錄 正難則反總體淘汰策略 例 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三 個數(shù)，使其和為不小于 10的偶數(shù) ,不同的 取法有多少種？ 解：這問題中如果直接求不小于 10的偶數(shù)很 困難 ,可用總體淘汰法。 在９個空檔中選６個位置插個隔板， 可把名額分成７份，對應地分給７個 班級，每一種插板方法對應一種分法 共有 ___________種分法。 回目錄 １ .計劃展出 10幅不同的畫 ,其中 1幅水彩畫 ,４ 幅油畫 ,５幅國畫 , 排成一行陳列 ,要求同一 品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩 端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 _______ 2. 5男生和５女生站成一排照像 ,男生相鄰 ,女 生也相鄰的排法有 _______種 2 5 52 5 5A A A2 5 42 5 4A A A回目錄 元素相同問題隔板策略 應用背景：相同元素的名額分配問題 不定方程的正整數(shù)解問題 隔板法的使用特征： 相同的元素分成若干部分，每部分至少一個 元素相同問題隔板策略 例 .有 10個運動員名額，在分給 7個班，每 班至少一個 ,有多少種分配方案？ 解：因為 10個名額沒有差別，把它們排成 一排。 注：對此類問題，常有疑惑，為什么不是 呢？ 5757 75 57A57C75用分步計數(shù)原理看， 5是步驟數(shù)，自然是指數(shù)。 47A1 47A思考 :可以先讓甲乙丙就坐嗎 ? 回目錄 （ 插入法 )先排甲乙丙三個人 ,共有 1種排法 ,再 把其