【導(dǎo)讀】3．已知等比數(shù)列{an}的第5項(xiàng)是二項(xiàng)式（x+）4展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，則a3?甲說(shuō)：我在1日和3日都有值班；乙說(shuō)：我在8日和9日都有值班；9．若關(guān)于x的方程x3﹣x2﹣x+a=0（a∈R）有三個(gè)實(shí)根x1，x2，x3，且滿足x1＜x2＜x3，則a. （Ⅰ）估算這200名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù)，并求進(jìn)入第二階段比賽的學(xué)生人數(shù)；1條扣20分．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，甲隊(duì)猜對(duì)每條謎語(yǔ)的概率均為，乙隊(duì)猜對(duì)前兩條的概率均為，優(yōu)勝隊(duì)，會(huì)把支持票投給哪隊(duì)？18．如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若。（Ⅰ）求證：A1O⊥平面ABCD；（Ⅱ）線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使得二面角D﹣A1A﹣P為？若存在，求出BP的長(zhǎng)；不。（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作曲線r的兩條切線，切點(diǎn)分別為C，D，若是，求出該定值；不是，說(shuō)明理由．。（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M﹣1；（Ⅰ）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅰ）求函數(shù)f的最小值m；

　　

【正文】 已知數(shù)列 {an}滿足 a1=1， an+1=（ 1+ ） an， 求證：當(dāng) n≥2 ， n∈ N時(shí) f（ ） +f（ ） +L+f（ ）＜ n?（ ）（ e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， e≈ ）． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上 某點(diǎn)切線方程． 【專(zhuān)題】 計(jì)算題；壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【分析】 （ Ⅰ ）求導(dǎo) f′ （ x） =﹣ e﹣ x（ x2+ax） +e﹣ x（ 2x+a） =﹣ e﹣ x（ x2+ax﹣ 2x﹣ a）；從而可得 f′ （ 0） =﹣（﹣ a） =2，從而解得； （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知， f（ x） =e﹣ x（ x2+2x），從而化簡(jiǎn) g（ x） ≥f （ x）得﹣ x（ x﹣ t﹣ ） ≥e﹣ x（ x2+2x）， x∈ [0， 1]；從而分 x=0與 x∈ （ 0， 1]討論，再化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題求解即可． （ Ⅲ ）由 an+1=（ 1+ ） an，及 a1=1可得 an=n；再由當(dāng) x∈ （ 0， 1]時(shí)， f′ （ x） =﹣ e﹣ x（ x2﹣2）＞ 0知 f（ x）在 [0， 1]上單調(diào)遞增，且 f（ x） ≥f （ 0） =0；故 f（ ）＜ f（ x）dx，（ 1≤i≤n ﹣ 1， i∈ N），從而化簡(jiǎn) [f（ ） +f（ ） +?+f （ ） ]= [f（ ）+f（ ） +?+f （ ） ]＜ f（ x） dx；再由 f（ x） ≤g （ x） =﹣ x2+（ 1+ ） x得 f（ x） dx≤ g（ x） dx= + ，從而證明． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵f （ x） =e﹣ x（ x2+ax）， ∴f′ （ x） =﹣ e﹣ x（ x2+ax） +e﹣ x（ 2x+a） =﹣ e﹣ x（ x2+ax﹣ 2x﹣ a）； 則由題意得 f′ （ 0） =﹣（﹣ a） =2， 故 a=2． （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）知， f（ x） =e﹣ x（ x2+2x）， 由 g（ x） ≥f （ x）得， ﹣ x（ x﹣ t﹣ ） ≥e ﹣ x（ x2+2x）， x∈ [0， 1]； 當(dāng) x=0時(shí)，該不等式成立； 當(dāng) x∈ （ 0， 1]時(shí)，不等式﹣ x+t+ ≥e ﹣ x（ x+2）在（ 0， 1]上恒成立， 即 t≥[e ﹣ x（ x+2） +x﹣ ]max． 設(shè) h（ x） =e﹣ x（ x+2） +x﹣ ， x∈ （ 0， 1]， h′ （ x） =﹣ e﹣ x（ x+1） +1， h″ （ x） =x?e﹣ x＞ 0， ∴h′ （ x）在（ 0， 1]單調(diào)遞增， ∴h′ （ x）＞ h′ （ 0） =0， ∴h （ x）在（ 0， 1]單調(diào)遞增， ∴h （ x） max=h（ 1） =1， ∴t≥1 ． （ Ⅲ ）證明： ∵a n+1=（ 1+ ） an， ∴ = ，又 a1=1， ∴n≥2 時(shí)， an=a1? ??? =1? ??? =n； 對(duì) n=1也成立， ∴a n=n． ∵ 當(dāng) x∈ （ 0， 1]時(shí)， f′ （ x） =﹣ e﹣ x（ x2﹣ 2）＞ 0， ∴f （ x）在 [0， 1]上單調(diào)遞增，且 f（ x） ≥f （ 0） =0． 又 ∵ f（ ）（ 1≤i≤n ﹣ 1， i∈ N）表示長(zhǎng)為 f（ ），寬為 的小矩形的面積， ∴ f（ ）＜ f（ x） dx，（ 1≤i≤n ﹣ 1， i∈ N）， ∴ [f（ ） +f（ ） +?+f （ ） ]= [f（ ） +f（ ） +?+f （ ） ] ＜ f（ x） dx． 又由（ Ⅱ ），取 t=1得 f（ x） ≤g （ x） =﹣ x2+（ 1+ ） x， ∴ f（ x） dx≤ g（ x） dx= + ， ∴ [f（ ） +f（ ） +?+f （ ） ]＜ + ， ∴f （ ） +f（ ） +?+f （ ）＜ n（ + ）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力． 選修 4— 2:矩陣與變換 21．在平面直角坐標(biāo)系中，矩陣 M對(duì)應(yīng)的變換將平面上任意一點(diǎn) P（ x， y）變換為點(diǎn) P（ 2x+y，3x）． （ Ⅰ ）求矩陣 M的逆矩陣 M﹣ 1； （ Ⅱ ）求曲線 4x+y﹣ 1=0在矩陣 M的變換作用后得到的曲線 C′ 的方程． 【考點(diǎn)】 幾 種特殊的矩陣變換． 【專(zhuān)題】 矩陣和變換． 【分析】 （ Ⅰ ）設(shè)點(diǎn) P（ x， y）在矩陣 M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為 P′ （ x′ ， y′ ），通過(guò) 可得 M= ，進(jìn)而可得結(jié)論； （ Ⅱ ）設(shè)點(diǎn) A（ x， y）在矩陣 M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為 A′ （ x′ ， y′ ），通過(guò) =M﹣ 1 可得 ，代入曲線 4x+y﹣ 1=0，計(jì)算即可． 【解答】 解：（ Ⅰ ）設(shè)點(diǎn) P（ x， y）在矩陣 M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為 P′ （ x′ ， y′ ）， 則 即 = ， ∴M= ． 又 det（ M） =﹣ 3， ∴M ﹣ 1= ； （ Ⅱ ）設(shè)點(diǎn) A（ x， y）在矩陣 M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的點(diǎn)為 A′ （ x′ ， y′ ）， 則 =M﹣ 1 = ， 即 ， ∴ 代入 4x+y﹣ 1=0，得 ， 即變換后的曲線方程 為 x+2y+1=0． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題． 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 22．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與 x軸的正半軸重合，直線 l的參數(shù)方程為 （ t為參數(shù)），圓 C的極坐標(biāo)方程為 p2+2psin（ θ+ ） +1=r2（ r＞ 0）． （ Ⅰ ）求直線 l的普通方程和圓 C的直角坐標(biāo)方程； （ Ⅱ ）若圓 C上的點(diǎn)到直線 l的最大距離為 3，求 r值． 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程． 【專(zhuān)題】 坐標(biāo)系和參數(shù)方程． 【分析】 （ Ⅰ ）直接根據(jù)互化公式消去相應(yīng)的參數(shù)即可； （ Ⅱ ）結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可． 【解答】 解：（ Ⅰ ）根據(jù)直線 l的參數(shù)方程為 （ t為參數(shù)）， 消去參數(shù)，得 x+y﹣ =0， 直線 l的直角坐標(biāo)方程為 x+y﹣ =0， ∵ 圓 C的極坐標(biāo)方程為 p2+2psin（ θ+ ） +1=r2（ r＞ 0）． ∴ （ x+ ） 2+（ y+ ） 2=r2（ r＞ 0）． ∴ 圓 C的直角坐標(biāo)方程為（ x+ ） 2+（ y+ ） 2=r2（ r＞ 0）． （ Ⅱ ） ∵ 圓心 C（﹣ ，﹣ ），半徑為 r， ? （ 5分） 圓心 C到直線 x+y﹣ =0的距離為 d= =2， 又 ∵ 圓 C上的點(diǎn)到直線 l的最大距離為 3，即 d+r=3， ∴r=3 ﹣ 2=1． 【點(diǎn)評(píng)】 本題重點(diǎn)考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化等知識(shí)． 選修 4— 5：不等式選講 23．已知函數(shù) f（ x） =|x﹣ 5|+|x﹣ 3|． （ Ⅰ ）求函數(shù) f（ x）的最小值 m； （ Ⅱ ） 若正實(shí)數(shù) a， b足 + = ，求證： + ≥m ． 【考點(diǎn)】 不等式的證明；基本不等式． 【專(zhuān)題】 選作題；不等式． 【分析】 （ Ⅰ ）利用 f（ x） =|x﹣ 5|+|x﹣ 3|≥|x ﹣ 5+3﹣ x|=2求函數(shù) f（ x）的最小值 m； （ Ⅱ ）利用柯西不等式，即可證 明． 【解答】 （ Ⅰ ）解： ∵f （ x） =|x﹣ 5|+|x﹣ 3|≥|x ﹣ 5+3﹣ x|=2， ? （ 2分） 當(dāng)且僅當(dāng) x∈ [3， 5]時(shí)取最小值 2， ? （ 3分） ∴m=2 ． ? （ 4分） （ Ⅱ ）證明： ∵ （ + ） [ ]≥ （ ） 2=3， ∴ （ + ） ≥ （ ） 2， ∴ + ≥2 ． ? （ 7分） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查絕對(duì)值不等式和均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．