高二數(shù)學解三角形-資料下載頁
2024-11-12 17:10本頁面
【導讀】1．在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，a＝2RsinA，②________，c＝2RsinC；系，是解三角形的重要工具；a＋b>c，b＋c>a，⑦________；(即在。利用正弦定理可以解決以下兩類有關三角。對于第類，其解是唯一確定的，一般先。再利用正弦定理求其余兩邊；對于第類，其解不一定唯一，由于三角。形的形狀不能唯一確定，因而會出現(xiàn)?②A為直角或鈍角，如下圖．。度進行推導．如圖，線為x軸的正半軸，由三角函數(shù)的定義知，頂點B的坐標是，當△ABC為直角三角形時，如圖①所示，在Rt△ABC中，a＝ABsinA＝2RsinA，b＝2RsinB，同理b＝2RsinB，c＝2RsinC.D，連結CD，則BD＝2R，∠D＝∠A.在Rt△BCD中，BC＝BDsinD＝2RsinA，綜上所述，在△ABC中，設R為外接圓的半徑，
【正文】 以 sin α ＝ sin(2 β －π2) ＝－ c os2 β . 即 sin α ＋ c os2 β ＝ 0. ( 2) 在 △ AD C 中，由正弦定理得 DCsin α＝ACsin ? π － β ?，即DCsin α＝3 DCsin β， 所以 sin β ＝ 3 sin α . 由 ( 1) sin α ＝－ c os2 β ， 所以 sin β ＝－ 3 c os2 β ＝－ 3 (1 － 2si n2β ) ， 即 2 3 sin2β － s in β － 3 ＝ 0. 解得 sin β ＝32或 sin β ＝－33，因為 0 β π2， 所以 sin β ＝32，從而 β ＝π3. [ 變式訓練 4] 在 △ ABC 中， a 、 b 、 c 分別為 A 、 B 、C 所對的邊， S 為 △ ABC 的面積，且 4sin B sin2(π4＋B2) ＋c os2 B ＝ 1 ＋ 3 . ( 1) 求 B 的大??； ( 2) 若 a ＝ 4 ， S ＝ 5 3 ，求 c 的值． 解析： ( 1) 由 4sin B sin2(π4＋B2) ＋ c os2 B ＝ 1 ＋ 3 得4sin B 1 － c os ?π2＋ B ?2＋ c os2 B ＝ 1 ＋ 3 ， 即 2sin B (1 ＋ sin B ) ＋ 1 － 2sin2B ＝ 1 ＋ 3 ， 所以 sin B ＝32. 因為 0 B π ，所以 B ＝π3或 B ＝2π3. ( 2) 因為 a ＝ 4 ， S ＝ 5 3 ，由 S ＝12ac sin B 得 c ＝2 Sa sin B＝2 5 34 32＝ 5. ? 解三角形的應用問題，通常都要根據(jù)題意，從實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形，得出三角形的邊和角的大小，從而得出實際問題的解． ? [例 5] (2020遼寧卷 )如圖，A， B， C， D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)， B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面 A處測得B點和 D點的仰角分別為75176。 ， 30176。 ，于水面 C處測得 B點和 D點的仰角均為60176。 ， AC＝ 圖中 B， D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求 B，D的距離 (計算結果精確到 km， ? ≈， ≈)． ? 分析： 本題考查了應用三角形知識求解實際問題的能力．求解此類解三角形問題首先要能夠讀懂題意，分析清楚題意，要能夠將實際問題轉化為數(shù)學問題，即解三角形問題．在具體求解過程中要能夠明確三角形中的邊角關系，同時要注意多解情況和計算的準確性． ? 解析： 在 △ ACD中， ∠ DAC＝ 30176。 ，∠ ADC＝ 60176。 － ∠ DAC＝ 30176。 ， ? 所以 CD＝ AC＝ ， ? 又 ∠ BCD＝ 180176。 － 60176。 － 60176。 ＝ 60176。 ， ? 故 CB是 △ CAD底邊 AD的中垂線，所以 BD＝ BA. 在 △ ABC 中，ABsin ∠ BCA＝ACsin ∠ ABC， 即 AB ＝AC sin60176。sin15176。＝3 2 ＋ 620， 因此， BD ＝3 2 ＋ 620≈ km. 故 B ， D 的距離約為 km. ? [變式訓練 5] 如圖，測量河對岸的塔高 AB時，可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個測點 C與 D，現(xiàn)測得 ∠ BCD＝ α， ∠ BDC＝ β，CD＝ s，并在點 C測得塔頂 A的仰角為 θ，求塔高 AB. 解析： 在 △ BCD 中， ∠ CBD ＝ π － α － β . 由正弦定理得BCsin ∠ BD C＝CDsin ∠ CBD， ∴ BC ＝CD sin ∠ BD Csin ∠ CBD＝s sin βsin ? α ＋ β ?. 在 Rt △ ABC 中， AB ＝ BC tan ∠ ACB ＝s tan θ sin βsin ? α ＋ β ?.
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