三角函數(shù)解三角形專題-資料下載頁
2025-08-04 23:16本頁面
【正文】 ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知=．（1）求角B的大??；（2）若a+c=2，求b的數(shù)值范圍．【解答】解：（1）在△ABC中，=，由正弦定理可得=，即為c2+a2﹣b2=﹣ac，可得cosB==﹣，0＜B＜π，可得B=；（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accos=（a+c）2﹣2ac+ac=4﹣ac=4﹣a（2﹣a）=（a﹣1）2+3，由0＜a＜2，可得b2∈[3，4），可得b的范圍是[，2）． 22．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知cos2A=﹣，c=，sinA=sinC，角A為銳角．（1）求sinA與a的值；（2）求b的值及三角形面積．【解答】解：（1）∵sinA=sinC，∴a=c=3．∵cos2A=1﹣2sin2A=﹣，∴sinA=．（2）∵A是銳角，∴cosA=，由余弦定理得：cosA=，即=，解得b=5．∴S△ABC=bcsinA==． 23．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知A=，b2﹣a2=．（Ⅰ）求tanC的值；（Ⅱ）求tan（2C﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccos，∴b2﹣a2=bc﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得b=c，∴a2=b2﹣c2=c2，即a=c．∴cosC==．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（Ⅱ）tan2C===﹣，∴tan（2C﹣）===7． 24．在△ABC 中，角 A，B，C 為三個內角，已知 A=45176。，cos B=．（Ⅰ）求sin C的值；（Ⅱ）若BC=10，D為AB 的中點，求CD的長及△ABC 的面積．【解答】解：（I）∵cosB=，B∈（0176。，180176。），∴sinB==．∴sinC=sin（B+45176。）=sinBcos45176。+cosBsin45176。=．（II）由正弦定理可得，可得b=6．由（I）可得：cosB=，∴B＜45176。，∴B+A＜90176。，∴C＞90176。，∴cosC=﹣=﹣．由由余弦定理可得：AB2=（6）2+102﹣2610cosC=196，解得AB=14．在△ACD中，CD2=（6）2+72﹣27cos45176。=37，∴CD=．△ABC 的面積S= 25．已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C的對邊，=．（Ⅰ）求角A的大?。唬á颍┤簟鰽BC的面積S=，求△ABC周長的最小值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵=，由正弦定理，得：，即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，A=．（Ⅱ）∵A=，且，∴bc=4，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=4，∴a≥2，又b+c=4，當且僅當b=c=2時，a的最小值為2，b+c的最小值為4，則周長a+b+c的最小值為6． 26．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，已知3a2=3b2+3c2．（1）求A；（2）若a=3，求△ABC周長的取值范圍．【解答】解：（1）∵S=，∴由已知得：，∴化簡得：=﹣，∴tanA=﹣，A∈（0，π），∴A=．（2）在△ABC中，由正弦定理得：．∴∴b=2sinB，c=2sinC=2，記△ABC周長為y，∴y=a+b+c=2sinB+2sin（﹣B）+3．化解得：y=2sinB+2（+3=2sin（B+）+3．∵B，∴周長y）綜上所述：△ABC周長的取值范圍（6，3+2）． 27．已知圓O的半徑為2，它的內接三角形ABC滿足c2﹣a2=4（c﹣b）sinB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求三角形ABC面積S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵三角形ABC外接圓的半徑是2，∴由正弦定理得，則sinB=，代入c2﹣a2=4（c﹣b）sinB得，c2﹣a2=4（c﹣b）=bc﹣b2，即，由余弦定理得，cosA==，∵0＜A＜π，∴A=；（Ⅱ）∵三角形ABC外接圓的半徑是2，∴由正弦定理得，則a=4=2，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，∴≥（2﹣）bc，解得bc≤，當且僅當b=c時取等號，∴三角形ABC面積S==，∴三角形ABC面積S的最大值是． 第23頁（共23頁）
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