高二數(shù)學(xué)解三角形-文庫(kù)吧在線(xiàn)文庫(kù)
【正文】 其他的邊和角． ? 對(duì)于第 (1)類(lèi)，其解是唯一確定的，一般先由三角形內(nèi)角和為 180176。( AC→＋ CB→) ＝ j － ∠ A ) ， ∴ a sin C ＝ c sin A ， ∴asin A＝csin C. 同理，過(guò)點(diǎn) C 作與 CB→垂直的單位向量 j ，可得： csin C＝bsin B， ∴asin A＝bsin B＝csin C ③ 當(dāng) △ ABC 為鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè) ∠ A 90176。 或 A ＝ 120176。＝6 ＋ 22； 當(dāng) A ＝ 120176。 ， C ＝ 75176。 － ( A ＋ C ) ＝ 180176。 ＋ 30176。 ，易得 a ＝ 10 ， 當(dāng) C ＝ 120176。cosC，試判斷三角形的形狀． ? 分析： 已知條件中有邊和角的混合關(guān)系，可考慮利用邊化角，從角的關(guān)系判斷，也可考慮角化邊，從邊的關(guān)系判斷． 解析： 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝ 2 R ， 得 b ＝ 2 R sin B ， c ＝ 2 R sin C . ∴ 原式化為 8 R2sin2B ， ∴ A ＝ 90176。 － ∠ DAC＝ 30176。 sin βsin ? α ＋ β ?. 在 Rt △ ABC 中， AB ＝ BC tan ∠ ACB ＝s ＝ 60176。 ， 30176。 c os C . ∵ sin B 或 120176。 sin B b c ， ∴△ AB C 有兩解， 由正弦定理得： sin C ＝c sin Bb＝32， ∴ C ＝ 60176。 ， ∴bsin B＝csin C. ∴ b ＝c sin Bsin C＝10 sin105176。 ， C＝ 30176。 ＝ 15176。 － 60176。CB→〉＝ 90176。AB→， 即 | j || AC→| c os90176。BE ＝12bc sin A . 同理可得 S ＝12ac sin B ， S ＝12ab sin C . ∴12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C . 將等式兩邊的式子都除以12abc ， 可得sin Aa＝sin Bb＝sin Cc， 即asin A＝bsin B＝csin C. ? 另外，我們也可以從 △ ABC的外接圓來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)，如圖． ? 當(dāng)△ ABC為直角三角形時(shí)，如圖①所示，其外接圓的圓心 O位于 Rt△ ABC的斜邊 AB上， R為外接圓的半徑． 在 Rt △ ABC 中， a ＝ AB sin A ＝ 2 R sin A ， b ＝ 2 R si n B ，c ＝ 2 R sin C . 所以asin A＝bsin B＝csin C＝ 2 R . 當(dāng) △ ABC 為 銳角三角形時(shí)，如圖 ② 所示，其外接圓的圓心 O 位于 △ ABC 的內(nèi)部，連結(jié) BO 并延長(zhǎng)交圓 O 于D ，連結(jié) CD ，則 ∠ D ＝ ∠ A ， BD ＝ 2 R . 在 Rt △ BCD 中， BC ＝ a ＝ 2 R sin D ＝ 2 R sin A ， 同理 b ＝ 2 R sin B ， c ＝ 2 R sin C . 所以asin A＝bsin B＝csin C＝ 2 R . 當(dāng) △ ABC 為鈍角三角形時(shí)，如圖 ③ 所示，其外接圓的圓心 O 位于 △ ABC 的外部，連結(jié) BO 并延長(zhǎng)交圓 O 于D ，連結(jié) CD ，則 BD ＝ 2 R ， ∠ D ＝ ∠ A . 在 Rt △ BCD 中， BC ＝ BD sin D ＝ 2 R sin A ， 即 a ＝ 2 R sin A . 同理 b ＝ 2 R sin B ， c ＝ 2 R sin C . 所以asin A＝bsin B＝csin C＝ 2 R . 綜上所述，在 △ ABC 中，設(shè) R 為外接圓的半徑，則有asin A＝bsin B＝csin C＝ 2 R .
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1