高二數(shù)學(xué)解三角形(參考版)
2024-11-16 17:10本頁(yè)面
【正文】 tan θ sin βsin ? α ＋ β ?. 。＝3 2 ＋ 620， 因此， BD ＝3 2 ＋ 620≈ km. 故 B ， D 的距離約為 km. ? [變式訓(xùn)練 5] 如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高 AB時(shí)，可以選與塔底 B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn) C與 D，現(xiàn)測(cè)得 ∠ BCD＝ α， ∠ BDC＝ β，CD＝ s，并在點(diǎn) C測(cè)得塔頂 A的仰角為 θ，求塔高 AB. 解析： 在 △ BCD 中， ∠ CBD ＝ π － α － β . 由正弦定理得BCsin ∠ BD C＝CDsin ∠ CBD， ∴ BC ＝CD sin ∠ BD Csin ∠ CBD＝s ， ? 故 CB是 △ CAD底邊 AD的中垂線，所以 BD＝ BA. 在 △ ABC 中，ABsin ∠ BCA＝ACsin ∠ ABC， 即 AB ＝AC sin60176。 － 60176。 ， ? 所以 CD＝ AC＝ ， ? 又 ∠ BCD＝ 180176。 ，∠ ADC＝ 60176。 ，于水面 C處測(cè)得 B點(diǎn)和 D點(diǎn)的仰角均為60176。遼寧卷 )如圖，A， B， C， D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)， B，D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測(cè)量船于水面 A處測(cè)得B點(diǎn)和 D點(diǎn)的仰角分別為75176。 . 故 △ ABC 為直角三角形． ? [變式訓(xùn)練 3] 在 △ ABC中，若 acosA＝bcosB，求證： △ ABC是等腰三角形或直角三角形． ? 分析： 判斷三角形形狀通常從三角形內(nèi)角的關(guān)系確定，也可以從三角形三邊關(guān)系確定．本題可考慮把邊化為角，尋找三角形角與角之間的關(guān)系，然后予以判定． 解析： 由正弦定理得ab＝sin Asin B. 又 a c os A ＝ b c os B ，即ab＝c os Bc os A， ∴sin Asin B＝c os Bc os A，即 sin A c os A ＝ sin B c os B ， ∴ sin2 A ＝ sin2 B . ∴ 2 A ＝ 2 B 或 2 A ＝ π － 2 B . ∴ A ＝ B 或 A ＋ B ＝π2. ∴△ ABC 是等腰三角形或直角三角形． ? [例 4] 如圖， D是直角 △ ABC斜邊 BC上一點(diǎn)， AB＝ AD，記 ∠ CAD＝ α， ∠ ABC＝ β. ? (1)證明 sinα＋ cos2β＝ 0； ? (2)若 AC＝ DC，求 β的值． ? 分析： 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，結(jié)合三角公式，正、余弦定理即可解決． 解析： ( 1) 因?yàn)?α ＝π2－ ∠ BAD ＝π2－ (π － 2 β ) ＝ 2 β －π2，所以 sin α ＝ sin(2 β －π2) ＝－ c os2 β . 即 sin α ＋ c os2 β ＝ 0. ( 2) 在 △ AD C 中，由正弦定理得 DCsin α＝ACsin ? π － β ?，即DCsin α＝3 DCsin β， 所以 sin β ＝ 3 sin α . 由 ( 1) sin α ＝－ c os2 β ， 所以 sin β ＝－ 3 c os2 β ＝－ 3 (1 － 2si n2β ) ， 即 2 3 sin2β － s in β － 3 ＝ 0. 解得 sin β ＝32或 sin β ＝－33，因?yàn)?0 β π2， 所以 sin β ＝32，從而 β ＝π3. [ 變式訓(xùn)練 4] 在 △ ABC 中， a 、 b 、 c 分別為 A 、 B 、C 所對(duì)的邊， S 為 △ ABC 的面積，且 4sin B sin2(π4＋B2) ＋c os2 B ＝ 1 ＋ 3 . ( 1) 求 B 的大??； ( 2) 若 a ＝ 4 ， S ＝ 5 3 ，求 c 的值． 解析： ( 1) 由 4sin B sin2(π4＋B2) ＋ c os2 B ＝ 1 ＋ 3 得4sin B c os C ，即 c os( B ＋ C ) ＝ 0 ， ∴ B ＋ C ＝ 9
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