【正文】 合題意 ,故 a≠ 綜上所述 ,a 或 a1. ,51?,)(.)(05651305651322???????xxxfxxxf即令此時(shí)52?51?51? ：①零點(diǎn)存在性定 理；②數(shù)形結(jié)合；③解方程 f（ x） =0. f(x)=g(x)的解，實(shí)質(zhì)就是研究 G(x)= f（ x） g（ x）的零點(diǎn) . .其 實(shí)質(zhì)是通過(guò)不斷地“取中點(diǎn)”來(lái)逐步縮小零點(diǎn)所在 的范圍，當(dāng)達(dá)到一定的精確度要求時(shí)，所得區(qū)間的 任一點(diǎn)就是這個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的近似值 . 方法與技巧 思想方法 感悟提高 y=f(x)(x∈ D),我們把使 f(x)=0的實(shí)數(shù) x叫 做函數(shù)的零點(diǎn) ,注意以下幾點(diǎn) : (1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù) ,當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè) 實(shí)數(shù)時(shí) ,其函數(shù)值等于零 . (2)函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù) y=f(x)的圖象與 x軸的交點(diǎn) 的橫坐標(biāo) . (3)一般我們只討論函數(shù)的實(shí)數(shù)零點(diǎn) . (4)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn) ,是方程 f(x)=0的根 . 失誤與防范 ,必須強(qiáng)調(diào) : (1)f(x)在［ a,b］上連續(xù) 。 (2)f(a) f(b)0。 (3)在（ a,b）內(nèi)存在零點(diǎn) . 事實(shí)上 ,這是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件 ,但不必要 . 一、選擇題 f(x)=3xx2,則在下列區(qū)間中，使函數(shù) f(x)有零點(diǎn) 的區(qū)間是 （ ） A.[0， 1] B.[1， 2] C.[2， 1] D.[1， 0] 解析 ∵ f（ 1） =31(1)2= f（ 0） =3002=10， ∴ f（ 1） f（ 0） 0， ∴ 有零點(diǎn)的區(qū)間是 [1， 0]. ,032131 ????D 定時(shí)檢測(cè) 2.(2022 天津理， 4)設(shè)函數(shù) (x0), 則 y=f(x) （ ） (1,e)內(nèi)均有零點(diǎn) (1,e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn) 內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間 (1,e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn) 內(nèi)無(wú)零點(diǎn) ,在區(qū)間 (1,e)內(nèi)有零點(diǎn) xxxf ln31)( ??),1,e1(),1,e1()1,e1()1,e1(解析 因?yàn)? 因此 f(x)在 內(nèi)無(wú)零點(diǎn) . 因此 f(x)在 (1， e)內(nèi)有零點(diǎn) . 答案 D )1,e1(,0)1e3 1(31)1ln31()e1lne131( ????????)1()e1( ff ?.09 3ee)lne31()1ln131(( e ))1( ????????? ff又3.（ 2022 福建文， 11） 若函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)與 g(x)=4x+2x2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過(guò) ，則 f(x)可以是 （ ） (x)=4x1 (x)=(x1)2 (x)=ex1 D. 解析 ∵ g(x)=4x+2x2在 R上連續(xù)且 設(shè) g(x)=4x+2x2的零點(diǎn)為 x0,則 )21ln ()( ?? xxf.01212)21(,02322212)41( ??????????? gg,2141 0 ?? x 又 f(x)=4x1零點(diǎn)為 f(x)=(x1)2零點(diǎn)為 x=1。 f(x)=ex1零點(diǎn)為 x=0。 零點(diǎn)為 答案 A .41|41|,41410 00 ?????? xx。41?x)21ln ()( ?? xxf .23?x |x22x|=a2+1(a∈ R+)的解的個(gè)數(shù)是 （ ） 解析 ∵ a∈ R+， ∴ a2+11. 而 y=|x22x|的圖象如圖， ∴ y=|x22x|的圖象與 y=a2+1 的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn) . ∴ 方程有兩解 . B |x|(x1)k=0有三個(gè)不相等的實(shí)根，則 k的取 值范圍是 （ ） A. B. C. D. 解析 本題研究方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題 ,此類問(wèn)題首選 的方法是圖象法即構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)圖象解題 ,其 次是直接求出所有的根 .本題顯然考慮第一種方法 . )0,41(? )41,0(),41( ??? )41,(??如圖，作出函數(shù) y=|x|( x1)的 圖象，由圖象知當(dāng) k∈ 時(shí)， 函數(shù) y=k與 y=|x|(x1)有 3個(gè)不同的 交點(diǎn)，即方程有 3個(gè)實(shí)根 . 答案 A )0,41(? f(x)=x3+bx+c (b0)(1≤ x≤1), 且 則方程 f(x)=0在 [1,1]內(nèi) ( ) 3個(gè)實(shí)數(shù)根 2個(gè)實(shí)數(shù)根 解析 ∵ f（ x） =x3+bx+c （ b0）， ∴ f′( x)=3x2+b0,∴ f（ x）在 [1,1]上為增函數(shù) , 又 ∵ ∴ f（ x）在 內(nèi)存在唯一零點(diǎn) . ,0)21()21( ??? ff,0)21()21( ??? ff)21,21(?C 二、填空題 f(x)=x2axb的兩個(gè)零點(diǎn)是 2和 3，則函數(shù) g(x)=bx2ax1的零點(diǎn)是 ________. 解析 ∴ g（ x） =6x25x1的零點(diǎn)為 .65,033,02222?????????????????bababa 得由.31,21 ??31,21 ?? f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是 2和 3,則不等式 af(2x)0的解集是 ________________. 解析 ∵ f（ x） =x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是 2， 3. ∴ 2， 3是方程 x2+ax+b=0的兩根， 由根與系數(shù)的關(guān)系知 ∴ f(x)=x2x6.∵ 不等式 af(2x)0， 即 (4x2+2x6)0 2x2+x30, 解集為 ,61,32 32??????????????????baba.123| ?????? ??? xx.123| ?????? ??? xx? y=x(x1)(x+1)的圖象如圖所示 ,今考慮 f(x)= x(x1)(x+1)+,則方程 f(x)=0 ① 有三個(gè)實(shí)根； ②當(dāng) x1時(shí) ,恰有一實(shí)根 (有一 實(shí)根且僅有一實(shí)根 )。 ③ 當(dāng) 1x0時(shí)，恰有一實(shí)根； ④當(dāng) 0x1時(shí)，恰有一實(shí)根； ⑤當(dāng) x1時(shí)，恰有一實(shí)根 . 則正確結(jié)論的編號(hào)為 ___________. 解析 ∵ f（ 2） =2 (3) (1)+=0, f（ 1） =0，即 f(2) f(1)0， ∴ 在（ 2， 1）內(nèi)有一個(gè)實(shí)根 . 由圖中知：方程 f(x)=0在 (∞, 1)上 ,只有一個(gè)實(shí)根 , 所以②正確 . 又 ∵ f(0)=0,由圖知 f(x)=0在 (1,0)上沒(méi)有實(shí)數(shù) 根 ,所以③不正確 . 又 ∵ f()= () +=0, f(1)=0,即 f()f(1)0,所以 f(x)=0. 在 (,1)上必有一個(gè)實(shí)根 ,且 f(0) f（ ） 0, ∴ f（ x） =0在（ 0， ）上也有一個(gè)實(shí)根 . ∴ f（ x） =0在（ 0， 1）上有兩個(gè)實(shí)根，④不正確 . 由 f（ 1） 0且 f(x)在（ 1， +∞ ）上是增函數(shù)， ∴ f（ x） 0,f(x)=0在（ 1， +∞ ）上沒(méi)有實(shí)根 . ∴ ⑤ 不正確 .并且由此可知①也正確 . 答案 ①② 三、解答題 f(x)=4x+m2 x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求 m的取值范圍，并求出該零點(diǎn) . 解 ∵ f（ x） =4x+m2 x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)， 即方程 (2x)2+m2 x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根 . 設(shè) 2x=t (t0)，則 t2+mt+1=0. 當(dāng) Δ =0,即 m24=0， ∴ m=2時(shí)， t=1。m=2時(shí)， t=1不合題意，舍去， ∴ 2x=1， x=0符合題意 . 當(dāng) Δ 0，即 m2或 m2時(shí)， t2+mt+1=0有兩正或兩負(fù)根， 即 f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒(méi)有零點(diǎn) . ∴ 這種情況不符合題意 . 綜上可知： m=2時(shí) ,f(x)有唯一零點(diǎn) ,該零點(diǎn)為 x=0. x的二次方程 x2+(m1)x+1=0在區(qū)間 [0， 2]上 有解，求實(shí)數(shù) m的取值范圍 . 解 設(shè) f(x)=x2+(m1)x+1,x∈ ［ 0， 2］， ①若 f(x)=0在區(qū)間［ 0， 2］上有一解， ∵ f（ 0） =10,則應(yīng)有 f(2)≤0, 又 ∵ f（ 2） =22+（ m1） 2+1, ∴ m≤ .23?② 若 f(x)=0在區(qū)間［ 0,2］上有兩解 ,則 由①②可知 m≤ 1. ,123,231313.012)1(41304)1(,0)2(221002????????????????????????????????????????????????????mmmmmmmmfm或 a是實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x)=2ax2+ y=f(x)在區(qū)間［ 1， 1］上有零點(diǎn) ,求 a的取值范圍 . 解 （ 1）當(dāng) a=0時(shí)， f(x)=2x3. 令 2x3=0,得 x= ［ 1， 1］ ∴ f（ x）在［ 1， 1］上無(wú)零點(diǎn)，故 a≠0. （ 2）當(dāng) a0時(shí)， f(x)=2ax2+2x 3a的對(duì)稱軸為 ?23.21ax ??① 當(dāng) ≤ 1,即 0a≤ 時(shí)， 須使 ∴ a . ② 當(dāng) 1 0,即 a 時(shí)， 須使 解得 a≥1,∴ a的取值范圍是［ 1， +∞). a21?21a21?21.150)1( 0)1( ??? ????? ? ?? aaff 即?.103210)1(0)21(??????????????????aaafaf 即（ 3）當(dāng) a0時(shí)， ①當(dāng) 0 ≤1, 即 a≤ 時(shí)， 須有 又 a≤ ∴ a的取值范圍是 a21?21?,5273273:,03215,0)21(0)1(??????????????????????????aaaaaaff或解得即,21?].2 73,( ????② 當(dāng) 1,即 a0時(shí)， 須有 ∴ a的解集為 . 綜上所述， a的取值范圍是 a21?21????????????15,0)1(0)1(aaff 即?).,1[]2 73,( ?????? ? 返回