【正文】 面面垂直判定 性質(zhì) 判定推論性質(zhì)判定判定 性質(zhì)判定面面垂直定義1. ,/aba??? 2. ,/ 3. ,/a? 4. /,a?? 5. /,???? ? ?平行與垂直關(guān)系可互相轉(zhuǎn)化293.（2022 遼寧文）已知 ,SABC是球 O表面上的點， SABC?平 面 ， A?，1SAB?， 2?，則球 的表面積等于（A）4 ? （B）3 ? （C）2 ? （D） ?【答案】A【解析】選 ，球 O的直徑為 RS?， ?表面積為 ??4.（2022 安徽文）一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是（A）372 （B）360 （C）292 （D）280【答案】B【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的 4 個側(cè)面積之和。2(1082)(682)360S??????.【方法技巧】的組合體，畫出直觀圖，加上面長方體的 4 個側(cè)面積之和。5.（2022 重慶文）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點（A）只有 1 個 （B）恰有 3 個（C）恰有 4 個 （D）有無窮多個【答案】 D【解析】放在正方體中研究,顯然，線段 1O、EF、FG、 GH、HE 的中點到兩垂直異面直線 AB、CD 的距離都相等， 所以排除 A、B、C，選 D亦可在四條側(cè)棱上找到四個點到兩垂直異面直線 AB、CD 的距離相等6.（2022 浙江文）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（A）352cm3 （B）0cm3（C）243cm3 30（D）1603cm3【答案】B【解析】選 B，本題主要考察了對三視圖所表達示的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題7.（2022 福建文）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積等于 ( )A． 3 B．2 C． 2 D．6【答案】D【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為 2，高為1 的正三棱柱，所以底面積為 324??，側(cè)面積為 316??，選 D．8.（2022 全國卷 1 文）已知在半徑為 2 的球面上有 A、B、C、D 四點，若 AB=CD=2,則四面體 ABCD 的體積的最大值為(A) 23 (B)43 (C) 3 (D) 83【答案】B【解析】過 CD 作平面 PCD，使 AB⊥平面 PCD,交 AB 與 P,設點 P 到 CD 的距離為 h,則有ABCD12233Vh???四 面 體,當直徑通過 AB 與 CD 的中點時,2max13h??,故max4平面解析幾何初步一、基礎(chǔ)知識（理解去記）1．解析幾何的研究對象是曲線與方程。過映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點構(gòu)成的集合與一個方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如 x2+y2=1 是以原點為圓心的單位圓的方程。2．求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?(2)寫出滿足條件的點的集合；(3)用坐標表示條件，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（ 5）證明適合方程的解的對應點都在曲線上，且曲線上對應點都滿足方程（實際應用常省略這一步） 。3．直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與 x 軸正方向所成的小于 1800 的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于 x 軸的直線的傾斜角為 00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點及斜率可求直線方程。4．直線方程的幾種形式：【必會】 【必考】31（1）一般式：Ax+By+C=0 ；（2）點斜式：yy0=k(xx0) ；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：1??byax；（5）兩點式： 1212yx?；（6）法線式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中 θ 為法線傾斜角，|p|為原點到直線的距離） ；（7）參數(shù)式： ???????sinco0ty（其中 θ 為該直線傾斜角） ，t 的幾何意義是定點 P0（x0, y0）到動點 P（x, y）的有向線段的數(shù)量（線段的長度前添加正負號，若 P0P 方向向上則取正，否則取負） 。5．到角與夾角：若直線 l1, l2 的斜率分別為 k1, k2，將 l1 繞它們的交點逆時針旋轉(zhuǎn)到與 l2重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫 l1 到 l2 的角；l1 與 l2 所成的角中不超過 900 的正角叫兩者的夾角。若記到角為 θ，夾角為 α，則 tanθ= 21k??,tanα= 21k??.6．平行與垂直：若直線 l1 與 l2 的斜率分別為 k1, k2。且兩者不重合，則 l1//l2 的充要條件是 k1=k2；l1 ?l2 的充要條件是 k1k2=1。7．兩點 P1(x1, y1)與 P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=2121)()(yx?。8．點 P(x0, y0)到直線 l: Ax+By+C=0 的距離公式： 20||BACd??。9．直線系的方程：若已知兩直線的方程是 l1：A1x+B1y+C1=0 與 l2：A2x+B2y+C2=0，則過 l1, l2 交點的直線方程為 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由 l1 與 l2 組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1） （A2x+B2y+C2）=0；與 l2 平行的直線方程為 A1x+B1y+C=0(1C?).10．二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線 l 方程為 Ax+By+C=0. 若 B0，則 Ax+By+C0表示的區(qū)域為 l 上方的部分， Ax+By+C0 表示的區(qū)域為 l 下方的部分。11．解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以 x 和 y 表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標函數(shù)；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優(yōu)解。12．圓的標準方程：圓心是點(a, b)，半徑為 r 的圓的標準方程為(xa)2+(yb)2=r2 ，其參數(shù)方程為 ??????sincorbyax（θ 為參數(shù)） 。13．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E24F0)。其圓心為???????2,ED，半徑為FED4212??。若點 P(x0, y0)為圓上一點，則過點 P 的切線方程為32.02022 ???????????????FyExDyx ①14．根軸：到兩圓的切線長相等的點的軌跡為一條直線（或它的一部分） ，這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個不同的圓：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0。 (D2D3)x+(E2E3)y+(F2F3)=0。 (D3D1)x+(E3E1)y+(F3F1)=0。不難證明這三條直線交于一點或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。二、基礎(chǔ)例題（必會）1．坐標系的選?。航⒆鴺讼祽v究簡單、對稱，以便使方程容易化簡。例 1 （經(jīng)典例題） 在 ΔABC 中，AB=AC ，∠A=900，過 A 引中線 BD 的垂線與 BC 交于點 E，求證：∠ADB= ∠CDE。[證明] 見圖 101，以 A 為原點， AC 所在直線為 x 軸，建立直角坐標系。設點 B，C 坐標分別為（0,2a）,(2a,0)，則點 D 坐標為（a, 0） 。直線 BD 方程為12??ayx， ①直線 BC方程為 x+y=2a， ②設直線 BD 和 AE 的斜率分別為 k1, k2，則 k1=2。因為 BD ?AE，所以 k1k2= 21?k，所以直線 AE 方程為xy21?，由 ??????ayx2,解得點 E 坐標為??????a32,4。所以直線 DE 斜率為.234??ak因為 k1+k3=0.所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。例 2 （經(jīng)典例題）半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為 600。[證明] 以 A 為原點，平行于正三角形 ABC 的邊 BC 的直線為 x 軸，建立直角坐標系見圖102，設⊙D 的半徑等于 BC 邊上的高，并且在 B 能上能下滾動到某位置時與 AB，AC 的交點分別為 E，F(xiàn)，設半徑為 r，則直線 AB，AC 的方程分別為 y3?, x?.設⊙D 的方程為(xm)2+y2=r2.①設點 E，F(xiàn) 的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，則 ,11223xy??，分別代入①并消去 y 得 .03).(0)( 22211 ?????rxmxrm所以 x1, x2 是方程 4x22mx+m2r2=0 的兩根。33由韋達定理 ???????4,21?rmx，所以|EF|2=(x1x2)2+(y1y2)2=(x1x2)2+3(x1x2)2=4(x1+x2)24x1x2=m2(m2r2)=r2.所以|EF|=r。所以∠EDF=600。2．到角公式的使用。例 3 設雙曲線 xy=1 的兩支為 C1，C2，正 ΔPQR 三頂點在此雙曲線上，求證：P ，Q ，R不可能在雙曲線的同一支上。[證明] 假設 P，Q，R 在同一支上，不妨設在右側(cè)一支 C1 上，并設 P，Q ，R 三點的坐標分別為,1,132????????????xx且 0x1x2x3. 記∠RQP=θ，它是直線 QR 到 PQ的角，由假設知直線 QR，PQ 的斜率分別為 32311xxk??，.112212xxk??由到角公式.01)(1tan 3213221 ?????xxk?所以 θ 為鈍角，與 ΔPQR 為等邊三角形矛盾。所以命題成立。3．代數(shù)形式的幾何意義。例 4 求函數(shù) 1163)(2424 ?????xxxf的最大值。[解] 因為22)0()()()表示動點 P(x, x2)到兩定點 A(3, 2), B(0, 1)的距離之差，見圖 103，當 AB 延長線與拋物線 y=x2 的交點 C 與點 P 重合時，f(x) 取最大值 |AB|= .104．最值問題。例 5 已知三條直線 l1: mxy+m=0, l2: x+mym(m+1)=0, l3: (m+1)xy+m+1=0 圍成 ΔABC ，求 m 為何值時，ΔABC 的面積有最大值、最小值。[解]記 l1, l2, l3 的方程分別為 ①，②，③。在①，③中取 x=1, y=0，知等式成立，所以 A(1, 0)為 l1 與 l3 的交點；在②，③中取 x=0, y=m+1，等式也成立，所以 B(0, m+1)為 l2 與 l3的交點。設 l1, l2 斜率分別為 k1, k2, 若 m ?0，則 k1?k2=1????????m, SΔABC=34||21BCA?，由點到直線距離公式|AC|= 1||1| 22????m，|BC|=221|| m???。所以 SΔABC=?????????122m。因為 2m≤m2+1，所以 SΔABC≤ 43。又因為m21≤2m，所以12??，所以 SΔABC≥.4當 m=1 時， （SΔABC）max= 43；當 m=1 時， （SΔABC）min=1.5．線性規(guī)劃。例 6 設 x, y 滿足不等式組 ???????.|32|,1xy（1）求點(x, y)所在的平面區(qū)域；（2）設 a1，在（ 1）區(qū)域里，求函數(shù) f(x,y)=yax 的最大值、最小值。[解] （1）由已知得????????,032,4xy或?????????.032,41xy解得點(x, y)所在的平面區(qū)域如圖 104 所示，其中各直線方程如圖所示。 AB：y=2x5；CD：y=2x+1 ；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直線 l: yax=k 在 y 軸上的截距，直線 l 與陰影相交，因為 a1，所以它過頂點C 時，f(x, y)最大，C 點坐標為（3 ，7） ，于是 f(x, y)的最大值為 3a+7. 如果1a≤2，則 l通過點 A（2，1）時，f(x, y) 最小，此時值為2a1；如果 a2，則 l 通過 B（3，1）時，f(x, y)取最小值為3a+1.6．參數(shù)方程的應用。例 7 如圖 105 所示，過原點引直線交圓 x2+(y1)2=1 于 Q 點，在該直線上取 P 點，使 P到直線 y=2 的距離等于|PQ|，求 P 點的軌跡方程。[解] 設直線 OP 的參數(shù)方程為 ?????sincotyx（t 參數(shù)） 。代入已知圓的方程得 t2t?2sinα=0.所以 t=0 或 t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα| ，而|OP|=t.所以|PQ|=|t2sinα|，而|PM|=|2tsin α|.所以|t2sin α|=|2tsinα|. 化簡得 t=2 或 t=2 或 sinα=1