【正文】 周期性的綜合應(yīng)用 [例5] （09年惠州第三次調(diào)研考）已知定義在上的偶函數(shù)滿足對于恒成立，且，則 ________ [思路點(diǎn)撥]欲求，應(yīng)該尋找的一個(gè)起點(diǎn)值，發(fā)現(xiàn)的周期性[解析]由得到，從而得，可見是以4為周期的函數(shù)，從而，又由已知等式得又由是上的偶函數(shù)得又在已知等式中令得，即所以【名師指引】近年將函數(shù)的奇偶性、周期性綜合在一起考查逐步成為一個(gè)熱點(diǎn)，解決問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)的周期性（奇偶性）。[新題導(dǎo)練]8．（執(zhí)信中學(xué)09屆訓(xùn)練題）設(shè)是定義在上的正值函數(shù),且滿足.若是周期函數(shù),則它的一個(gè)周期是（ ） .；.；.；.[解析]；由是定義在上的正值函數(shù)及得，，所以，即的一個(gè)周期是69．（06年安徽改編）函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________[解析]；由得，進(jìn)而得所以備選例題：（05年廣東）設(shè)函數(shù)，且在閉區(qū)間上，只有 （Ⅰ）試判斷函數(shù)的奇偶性； （Ⅱ）試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.[解析] （Ⅰ）方法一：若是偶函數(shù)，則于是有，這與在閉區(qū)間上，只有矛盾故不是偶函數(shù)；若是奇函數(shù)，則，這與在閉區(qū)間上，只有矛盾，故若不是奇函數(shù)所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)方法二：因?yàn)樵陂]區(qū)間上，只有故，即不是奇函數(shù)又由知，而，所以，又所以，可見不是偶函數(shù)所以既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)（Ⅱ）方法一：因?yàn)樗?，即所以，即又，所以和都是方程的根由和及得到故方程在閉區(qū)間上的根至少有802個(gè)如果存在使得，則但，這與在閉區(qū)間上，只有矛盾故在上只有兩個(gè)根，即和設(shè)是方程在閉區(qū)間上任意一個(gè)根，則存在整數(shù)，使得，且由上可知或，所以或（）所以故方程在閉區(qū)間上僅有802個(gè)根方法二：由知是周期為10的函數(shù)，由知的圖象關(guān)于直線對稱又因?yàn)樵谏蟽H有所以在上沒有根即在上只有兩個(gè)根，即和于是，在內(nèi)只有400個(gè)根，在上僅有2個(gè)根，在內(nèi)僅有400個(gè)根，在上沒有根。所以故方程在閉區(qū)間上僅有802個(gè)根★搶分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1．（普寧市城東中學(xué)09屆月考）已知是定義在R上的函數(shù)，且滿足，則“為偶函數(shù)”是（ ）“2為函數(shù)的一個(gè)周期”的 ( ) A．充分不必要條件；B．必要不充分條件；C．充要條件；D．既不充分也不必要條件[解析]C；由得若為偶函數(shù)，則，即2為函數(shù)的一個(gè)周期；若2為函數(shù)的一個(gè)周期，則，又由得，所以，即為偶函數(shù)2．（汕頭市金山中學(xué)09年模擬）若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（ ） A．；B．； C．；D．[解析]D；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，又，在上是增函數(shù)，所以3．（09年深圳翠園、寶安中學(xué)）設(shè)函數(shù) (x∈R)為奇函數(shù)，，則（ ）A．0；B．1； C．；D．5[解析]C；特取，則4．（湛江市09年高三調(diào)研）函數(shù)在其定義域內(nèi)是( ) A. 是增函數(shù)又是偶函數(shù)；B. 是增函數(shù)又是奇函數(shù)C. 是減函數(shù)又是偶函數(shù)；D. 是減函數(shù)又是奇函數(shù)[解析]B；因?yàn)?，故是奇函?shù)；又，可見是增函數(shù)，所以應(yīng)選B5．（中山市09年高三統(tǒng)考）偶函數(shù)滿足：，且在區(qū)間與上分別遞減和遞增，則不等式的解集為（ ）A．；B．C．；D．[解析]D；由已知條件通過的草圖得知函數(shù)的值在、上都為正，在、上為負(fù)，故不等式的解集為6．（09年深圳九校聯(lián)考）已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，則滿足的的取值范圍是 ．[解析]；當(dāng)時(shí)，由已知條件得，又是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，故得，即當(dāng)時(shí)由得；當(dāng)時(shí)由得綜合提高訓(xùn)練：7．設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則為 [解析] ；由得，故是以4為周期的函數(shù)，故，又是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以8．（四會中學(xué)高三09年月考）符號表示不超過的最大整數(shù)，如，定義函數(shù)．給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)的定義域是R，值域?yàn)?；②方程有無數(shù)個(gè)解。③函數(shù)是周期函數(shù)；④函數(shù)是增函數(shù)．其中正確命題的序號有（ ）A．①④；B．③④；C．②③；D．②④[解析] C；依據(jù)函數(shù)的定義知函數(shù)的定義域是R，但，故①錯(cuò)誤；而方程，即方程有無數(shù)個(gè)解，故②正確；由于當(dāng)取整數(shù)時(shí)，都有，所以函數(shù)不是增函數(shù)，即④是錯(cuò)誤的，從而應(yīng)選C9.（08年遼寧改編）設(shè)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí)是單調(diào)函數(shù),求滿足的所有之和 [解析] ；根據(jù)題意，由已知得，又是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí)是單調(diào)函數(shù)，故得或即① 或②① 兩根之和為，②的兩根之和為，所以所有根的和為第一章綜合檢測一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分），則下列關(guān)系中，正確的是( )A. ；B.；C. ；D. [解析] D；由集合的定義知，應(yīng)選D（注意：本題易錯(cuò)選C）2.（09年山東梁山二中）若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. ；B. ；C. ；D. [解析] B；由題意知，集合不是空集，故實(shí)數(shù)即其取值范圍是3．（09年重慶南開中學(xué)）已知集合，則集合N的真子集個(gè)數(shù)為（ ）A．3；B．4；C．7；D．8[解析]B；由題意得，所以N的真子集個(gè)數(shù)為44. 下列判斷正確的是（ ）A．函數(shù)是奇函數(shù)；B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是非奇非偶函數(shù) D．函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)[解析] C；顯然，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除A；函數(shù)的定義域?yàn)橐膊魂P(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除B；又函數(shù)不是奇函數(shù)，所以應(yīng)選擇C5. （恩城中學(xué)09屆高三上中段考）已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足條件：，,則的值為（ ）A．－2；B．2；C．4；D．－4[解析] B；由的定義知，是定義在正整數(shù)集上的周期為6的函數(shù)，故6．（08年陜西）為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)定原信息為（），傳輸信息為，其中，運(yùn)算規(guī)則為：，，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息一定有誤的是（ ）A．11010；B．01100；C．10111；D．00011[解析]C；假設(shè)傳輸信息為“10111”，那么的值分別為“1，0，1，1，1”這5個(gè)數(shù)，據(jù)題目條件必有；，這與矛盾，故此信息錯(cuò)誤。7．（07年安徽）定義在R上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，則可能為（ ） A．0；B．1；C．3；D．5[解析] D；特取，則在上的根有5個(gè)。8. （廣東南海中學(xué)09屆模擬）函數(shù)的最小值為（ ）A. 10031004 B. 10041005 C. 20062007 D. 20052006[解析] A ；根據(jù)絕對值的幾何意義，表示數(shù)軸上與數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的距離之和，當(dāng)此點(diǎn)對應(yīng)于數(shù)1004時(shí)取得最小值，為二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分，其中13～15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分.9．（韶關(guān)市田家炳中學(xué)09屆測試）在實(shí)數(shù)集上定義運(yùn)算 ，并定義：若存在元素使得對，有，則稱為上的零元，那么，實(shí)數(shù)集上的零元之值是 [解析] ；根據(jù)“零元”的定義，故，定義P※Q＝，則P※Q中元素的個(gè)數(shù)為 .[解析]12；根據(jù)定義，故有種確定方法；，故有種確定方法，所以P※Q中元素的個(gè)數(shù)為11．（金山中學(xué)09屆）已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的值_______. [解析] ；由是以2為周期的函數(shù)得，又是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以12．設(shè),集合則的值是 [解析]；由可知，則只能，則有以下對應(yīng)關(guān)系① 或 ② 解①得符合題意，②無解，所以▲選做題：在下面三道小題中選做兩題，三題都選的只計(jì)算前兩題的得分。13．是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是 [解析]4；因是定義在R上的偶函數(shù)，故，又知3為的一個(gè)周期，所以，所以區(qū)間（0，6）內(nèi)的解的個(gè)數(shù)的最小值為414．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則 [解析]0；由的圖象關(guān)于直線對稱得，又是定義在R上的奇函數(shù)，故，從而，故，又，所以15. 若一系列函數(shù)的解析式相同、值域相同,但其定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”,那么函數(shù)解析式為y=x2，值域?yàn)閧0,4}的“同族函數(shù)”共有_________個(gè).[解析]3個(gè)；顯然，定義域可為三、解答題：(本大題共6小題,共80分,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本題滿分13分)（高州中學(xué)09屆模擬）設(shè)全集，集合，集合(Ⅰ)求集合與； (Ⅱ)求、[解析](Ⅰ)，不等式的解為， ………………4分，　　　　　　…………………………　　7分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， ……………………………………………………10分，………………13分17.（13分）已知集合A＝{x| x2－3x－10≤0}，B＝{x| m＋1≤x≤2m－1}，若AB且B≠，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。[解析] A={x| x2－3x－10≤0}={x| －2≤x≤5}, …………2分 如圖：若AB且B≠, 則， …………7分解得2≤m≤3 …………13分 ∴ 實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[2, 3] . …………13分18.(14分) 已知函數(shù)y=f(x)= (a,b,c∈R,a0,b0)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1).試求函數(shù)f(x)的解析式[解析]∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0, ……………4分∵a0,b0,x0,∴f(x)=≥2， …………6分當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號成立，于是2=2,∴a=b2, …………8分由f(1)＜得＜即＜, ………10分∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2， …………12分又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+. …………14分19. （高州中學(xué)09屆模擬14分）已知函數(shù)，若存在，則稱是函數(shù)的一個(gè)不動點(diǎn)，設(shè) （Ⅰ）求函數(shù)的不動點(diǎn)； （Ⅱ）對（Ⅰ）中的二個(gè)不動點(diǎn)、（假設(shè)），求使恒成立的常數(shù)的值；解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)…7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知可知使恒成立的常數(shù). ……………………14分20．（14分）設(shè)函數(shù)是定義在，0)∪(0，上的奇函數(shù)，當(dāng)x206。，0)時(shí)，=.(1) 求當(dāng)x206。(0，時(shí)，的表達(dá)式；(2) 若a1，判斷在(0，上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.[解析](1)設(shè)x206。(0，則，…………2分所以f(x)= ，…………4分又因?yàn)閒(x)=f(x)，所以f(x)= x206。(0，. …………6分 (2) x206。(0，時(shí)，f(x)= ， …………10分x3206。(0，， …………12分又a1，所以0，即，所以f(x)在(0，上遞增. …………14分21. (12分)若函數(shù)y=f(x)是周期為2的偶函數(shù),當(dāng)x∈［2,3］時(shí),f(x)=x－=f(x)的圖象上有兩點(diǎn)A、B,它們的縱坐標(biāo)相等,橫坐標(biāo)都在區(qū)間［1,3］上,定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,a)(其中2a3),(1) 求當(dāng)x∈［1,2］時(shí),f(x)的解析式。(2) 定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,a)(其中2a3),求△ABC面積的最大值.[解:析](1)∵f(x)是以2為周期的周期函數(shù),當(dāng)x∈［2,3］時(shí),f(x)=x－1, ∴當(dāng)x∈［0,1］時(shí),f(x)=f(x+2)=(x+2)－1=x+1. …………1分∵f(x)是偶函數(shù),∴當(dāng)x∈［－1,0］時(shí),f(x)=f(－x)=－x+1, …………2分當(dāng)x∈［1,2］時(shí),f(x)=f(x－2)=－(x－2)+1=－x+3. …………4分(2)設(shè)A、B的橫坐標(biāo)分別為3－t,t+1,1≤t≤2,則|AB|=(t+1)－(3－t)=2t－2, …………6分∴△ABC的面積為S=(2t－2)(a－t)=－t2+(a+1)t－a(1≤t≤2)=－(t－)2+∵2a3,∴=時(shí),S最大值=…………12分