【正文】 第一章 集合與函數(shù)概念知識架構(gòu) 集合集合表示法集合的運算集合的關(guān)系列舉法描述法圖示法包含相等子集與真子集交集并集補集函數(shù)函數(shù)及其表示函數(shù)基本性質(zhì)單調(diào)性與最值函數(shù)的概念函數(shù)的奇偶性函數(shù)的表示法映射映射的概念集合與函數(shù)概念第一講 集合★知識梳理一：集合的含義及其關(guān)系:確定性、無序性和互異性。：列舉法、描述法、韋恩圖；：文字語言符號語言屬于不屬于數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集符號或二： 集合間的基本關(guān)系 表示關(guān)系 文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同且子集A中任意一元素均為B中的元素或真子集A中任意一元素均為B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，（）三：集合的基本運算①兩個集合的交集:= 。②兩個集合的并集: =。③設(shè)全集是U,集合,則交并補方法:常用數(shù)軸或韋恩圖進行集合的交、并、補三種運算.★重、難點突破重點：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補三種運算。難點：正確把握集合元素的特征、進行集合的不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化，準確進行集合的交、并、補三種運算。重難點：掌握集合的概念的關(guān)鍵是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合中元素的互異性，在解題過程中最易被忽視，因此要對結(jié)果進行檢驗；2．集合的表示法（1）列舉法要注意元素的三個特性；（2）描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性質(zhì)，如、等的差別，如果對集合中代表元素認識不清，將導致求解錯誤： 問題：已知集合（ ） A. ；B. ；C. ；D. [錯解]誤以為集合表示橢圓，集合表示直線，由于這直線過橢圓的兩個頂點，于是錯選B[正解] C； 顯然，故(3)Venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關(guān)問題和集合的運算時常用Venn圖。3．集合間的關(guān)系的幾個重要結(jié)論（1）空集是任何集合的子集，即（2）任何集合都是它本身的子集，即（3）子集、真子集都有傳遞性，即若，則4．集合的運算性質(zhì)（1）交集：①；②；③；④，⑤；（2）并集：①；②；③；④，⑤；（3）交、并、補集的關(guān)系①；②；★熱點考點題型探析考點一：集合的定義及其關(guān)系題型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定義集合運算：．設(shè)，則集合的所有元素之和為（ ）A．0；B．2；C．3；D．6[解題思路]根據(jù)的定義，讓在中逐一取值，讓在中逐一取值，在值就是的元素[解析]：正確解答本題,必需清楚集合中的元素，顯然，根據(jù)題中定義的集合運算知=，故應(yīng)選擇D 【名師指引】這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平，所以成為高考的一個熱點，這時要充分理解所定義的運算即可，但要特別注意集合元素的互異性。題型2：集合間的基本關(guān)系[例2]．數(shù)集與之的關(guān)系是（ ）A．；B．； C．；D．[解題思路]可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來，然后進行判斷；也可依選擇支之間的關(guān)系進行判斷。[解析] 從題意看，數(shù)集與之間必然有關(guān)系，如果A成立，則D就成立，這不可能；同樣，B也不能成立；而如果D成立，則A、B中必有一個成立，這也不可能，所以只能是C【名師指引】新定義問題是高考的一個熱點，解決這類問題的辦法就是嚴格根據(jù)題中的定義，逐個進行檢驗，不方便進行檢驗的，就設(shè)法舉反例。[新題導練] 1．第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧運會比賽的運動員}，集合B={參加北京奧運會比賽的男運動員}，集合C={參加北京奧運會比賽的女運動員}，則下列關(guān)系正確的是（ ） A． B. C. D. [解析] D；因為全集為，而=全集=2．(2006?山東改編）定義集合運算:,設(shè)集合,則集合的所有元素之和為 [解析]18，根據(jù)的定義，得到，故的所有元素之和為183．(2007湖北改編）設(shè)和是兩個集合，定義集合，如果，,那么等于 [解析] ；因為，所以4．研究集合，之間的關(guān)系[解析] 與，與都無包含關(guān)系，而；因為表示的定義域，故；表示函數(shù)的值域，；表示曲線上的點集，可見，而與，與都無包含關(guān)系考點二：集合的基本運算 [例3] 設(shè)集合，（1） 若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍若，[解題思路]對于含參數(shù)的集合的運算，首先解出不含參數(shù)的集合，然后根據(jù)已知條件求參數(shù)。[解析]因為，（1）由知，從而得，即，解得或當時，滿足條件；當時，滿足條件所以或（2）對于集合，由因為，所以①當，即時，滿足條件；②當，即時，滿足條件；③當，即時，才能滿足條件，由根與系數(shù)的關(guān)系得，矛盾故實數(shù)的取值范圍是【名師指引】對于比較抽象的集合，在探究它們的關(guān)系時，要先對它們進行化簡。同時，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.[新題導練] 6．若集合，則是（ ）A. ；B. ；C.；D. 有限集[解析] A；由題意知，集合表示函數(shù)的值域，故集合；表示函數(shù)的值域，故7．已知集合，那么集合為（ ）A.；B.；C.；D.[解析]D；表示直線與直線的交點組成的集合，A、B、C均不合題意。8．集合,且,求實數(shù)的值.[解析] ；先化簡B得, .由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一種情況是: 的情形,此時.故所求實數(shù)的值為.備選例題1：已知，則中的元素個數(shù)是（ ）A. ；B. ；C.；[解析]選A。集合表示函數(shù)的值域,是數(shù)集,并且,而集合表示滿足的有序?qū)崝?shù)對的集合,即表示圓上的點,是點集。所以，集合與集合中的元素均不相同，因而，故其中元素的個數(shù)為0[誤區(qū)分析]在解答過程中易出現(xiàn)直線與圓有兩個交點誤選C；或者誤認為中，而中，從而有無窮多個解而選D。注意，明確集合中元素的屬性（是點集還是數(shù)集）是準確進行有關(guān)集合運算的前提和關(guān)鍵。備選例題2：已知集合和集合各有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合的個數(shù)：(Ⅰ)，且中含有3個元素；(Ⅱ)（表示空集）[解法一]因為、各有12個元素，含有4個元素，因此，的元素個數(shù)是故滿足條件(Ⅰ)的集合的個數(shù)是上面集合中，還滿足的集合的個數(shù)是因此，所求集合的個數(shù)是[解法二]由題目條件可知，屬于而不屬于的元素個數(shù)是因此，在中只含有中1個元素的所要求的集合的個數(shù)為含有中2個元素的所要求的集合的個數(shù)為含有中3個元素的所要求的集合的個數(shù)為所以，所求集合的個數(shù)是★搶分頻道UBA基礎(chǔ)鞏固訓練：1． （09年吳川市川西中學09屆第四次月考）設(shè)全集, 則右圖中陰影部分表示的集合為 ( )A．；B．；C．；D．[解析]C；圖中陰影部分表示的集合是，而，故2. （韶關(guān)09屆高三摸底考）已知 則=A．；B．；C．；D．[解析] A；因為，所以3. （蘇州09屆高三調(diào)研考）集合的所有子集個數(shù)為 [解析]8；集合的所有子集個數(shù)為4.（09年無錫市高三第一次月考）集合中的代表元素設(shè)為，集合中的代表元素設(shè)為，若且，則與的關(guān)系是 [解析] 或；由子集和交集的定義即可得到結(jié)論5．(2008年天津)設(shè)集合，則的取值范圍是（ ）A．；B． C．或；D．或[解析]A；，所以，從而得綜合提高訓練：6．,則下列關(guān)系中立的是( ) A．。 B．。C．。D．[解析]A；當時，有，即；當時，也恒成立，故，所以，，記，則＝( )A. 。 B.。 C. 。 D. [解析] A；依題意得，所以，故應(yīng)選A8．（09屆惠州第一次調(diào)研考）設(shè)A、B是非空集合，定義，已知A=，B=，則AB等于（ ）A．；B．；C．；D．[解析]D；，∴A=[0，2]，∴B=（1，＋∞），∴A∪B=[0, ＋∞），A∩B=（1，2]，則AB＝第2講 函數(shù)與映射的概念★知識梳理1．函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義：設(shè)是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中的每一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從到的一個函數(shù)，通常記為(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)中，叫做自變量，的取值范圍叫做的定義域；與的值相對應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域。(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則2．映射的概念設(shè)是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中的任意元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)，那么這樣的單值對應(yīng)叫做從到的映射，通常記為★重、難點突破重點：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、值域難點：求函數(shù)的值域和求抽象函數(shù)的定義域重難點：1．關(guān)于抽象函數(shù)的定義域求抽象函數(shù)的定義域，如果沒有弄清所給函數(shù)之間的關(guān)系，求解容易出錯誤問題1：已知函數(shù)的定義域為，求的定義域[誤解]因為函數(shù)的定義域為，所以，從而故的定義域是[正解]因為的定義域為，所以在函數(shù)中，從而，故的定義域是即本題的實質(zhì)是求中的范圍問題2：已知的定義域是，求函數(shù)的定義域[誤解]因為函數(shù)的定義域是，所以得到，從而，所以函數(shù)的定義域是[正解]因為函數(shù)的定義域是，則，從而所以函數(shù)的定義域是即本題的實質(zhì)是由求的范圍即與中含義不同2． 求值域的幾種常用方法（1）配方法：對于（可化為）“二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)，可變?yōu)榻鉀Q（2）基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來求，如函數(shù)就是利用函數(shù)和的值域來求。（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)的值域由得，若，則得，所以是函數(shù)值域中的一個值；若，則由得，故所求值域是（4）分離常數(shù)法：常用來求“分式型”函數(shù)的值域。如求函數(shù)的值域，因為，而，所以，故（5）利用基本不等式求值域：如求函數(shù)的值域當時，；當時，若，則若，則，從而得所求值域是（6）利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)的值域因，故函數(shù)在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域為（7）圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域（求某些分段函數(shù)的值域常用此法）?！餆狳c考點題型探析考點一：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù)[例1] 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1），；（2），（3），（n∈N*）；（4），；（5），[解題思路]要判斷兩個函數(shù)是否表示同一個函數(shù)，就要考查函數(shù)的三要素。[解析] （1）由于，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).（2）由于函數(shù)的定義域為，而的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù).（3）由于當n∈N*時，2n177。1為奇數(shù)，∴，它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).（4）由于函數(shù)的定義域為，而的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).（5）函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函數(shù)【名師指引】構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)為同一函數(shù)。第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)。原因是對函數(shù)的概念理解不透，在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母對于函數(shù)本身并無影響，比如，都可視為同一函數(shù).[新題導練] 1．(2009佛山) 下列函數(shù)中與函數(shù)相同的是( )A .y = ()2