【正文】 高中數(shù)學必修4教案．1 任意角教學目標（一） 知識與技能目標理解任意角的概念(包括正角、負角、零角) 與區(qū)間角的概念.（二） 過程與能力目標會建立直角坐標系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角的集合的書寫．（三） 情感與態(tài)度目標1． 提高學生的推理能力；　　2．培養(yǎng)學生應用意識．教學重點 任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書寫．教學難點終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書寫．教學過程一、引入：1．回顧角的定義①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．二、新課：1．角的有關(guān)概念：①角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．始邊終邊頂點AOB②角的名稱：③角的分類：負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角④注意：⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”；⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0176。；⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負角和零角．⑤練習：請說出角α、β、γ各是多少度?2．象限角的概念：①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．例1．如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？⑵B1y⑴Ox45176。B2OxB3y30176。60o例2．在直角坐標系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角．⑴ 60176。； ⑵ 120176。； ⑶ 240176。； ⑷ 300176。； ⑸ 420176。； ⑹ 480176。；答：分別為2象限角．3．探究：教材P3面終邊相同的角的表示：所有與角α終邊相同的角，連同α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{ β | β = α + k360 176。 ，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個周角的和．注意：⑴ k∈Z⑵ α是任一角；⑶ 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們相差360176。的整數(shù)倍；⑷ 角α + k720 176。與角α終邊相同，但不能表示與角α終邊相同的所有角．例3．在0176。到360176。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角．⑴－120176。；⑵640 176。；⑶－950176。12＇．答：⑴240176。,第三象限角；⑵280176。,第四象限角；⑶129176。48＇,第二象限角；例4．寫出終邊在y軸上的角的集合(用0176。到360176。的角表示) ．解:{α | α = 90176。+ n180176。,n∈Z}．例5．寫出終邊在上的角的集合S,并把S中適合不等式－360176?！堞拢?20176。的元素β寫出來．4．課堂小結(jié)①角的定義；②角的分類：負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角③象限角；④終邊相同的角的表示法．5．課后作業(yè)：①閱讀教材P2P5；　?、诮滩腜5練習第15題；　?、?、3題思考題：已知α角是第三象限角，則2α，各是第幾象限角？解：角屬于第三象限， k360176。+180176。＜α＜k360176。+270176。(k∈Z)因此，2k360176。+360176。＜2α＜2k360176。+540176。(k∈Z)即(2k +1)360176。＜2α＜(2k +1)360176。+180176。(k∈Z)故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角．又k180176。+90176。＜＜k180176。+135176。(k∈Z) ．當k為偶數(shù)時，令k=2n(n∈Z)，則n360176。+90176。＜＜n360176。+135176。(n∈Z) ，此時，屬于第二象限角當k為奇數(shù)時，令k=2n+1 (n∈Z)，則n360176。+270176。＜＜n360176。+315176。(n∈Z) ，此時，屬于第四象限角因此屬于第二或第四象限角．（一）教學目標（四） 知識與技能目標理解弧度的意義；了解角的集合與實數(shù)集R之間的可建立起一一對應的關(guān)系；熟記特殊角的弧度數(shù)．（五） 過程與能力目標能正確地進行弧度與角度之間的換算，能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式，并能運用公式解決一些實際問題（六） 情感與態(tài)度目標通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進，培養(yǎng)學生求異創(chuàng)新的精神；通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美．教學重點弧度的概念．弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明．教學難點“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系．教學過程一、復習角度制：初中所學的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的? 規(guī)定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制．二、新課：1．引　入：由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是60進制的,—弧度制，它是如何定義呢？2．定 義我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實際運算中，常常將rad單位省略．3．思考：（1）一定大小的圓心角所對應的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？（2）引導學生完成P6的探究并歸納：弧度制的性質(zhì)：①半圓所對的圓心角為 ②整圓所對的圓心角為③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)． ④負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)．⑤零角的弧度數(shù)是零． ⑥角α的弧度數(shù)的絕對值|α|=4．角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換： ①將角度化為弧度：； ；；．②將弧度化為角度：；；；．5．常規(guī)寫法：① 用弧度數(shù)表示角時,常常把弧度數(shù)寫成多少π 的形式, 不必寫成小數(shù)． ② 弧度與角度不能混用．6．特殊角的弧度角度0176。30176。45176。60176。90176。120176。135176。150176。180176。270176。360176。弧度07．弧長公式弧長等于弧所對應的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積．例1．把67176。30＇化成弧度．例2．把化成度．例3．計算：；．例4．將下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：；．例5．將下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并確定其所在的象限．；．解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角.(2) 是第二象限角. 證法一:∵圓的面積為,∴圓心角為1rad的扇形面積為,又扇形弧長為l,半徑為R, ∴扇形的圓心角大小為rad, ∴扇形面積．證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n，則在角度制下的扇形面積公式為，又此時弧長，∴．可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡潔得多．7．課堂小結(jié)①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定義③“角度制”與“弧度制”的聯(lián)系與區(qū)別．8．課后作業(yè)：①閱讀教材P6 –P8；②教材P9練習第6題；③教材P10面8題及B3題．（三）教學目的：知識目標：、定義域與值域、符號、及誘導公式； 、余弦、正切的三角函數(shù)值； 。 能力目標：掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學生對三角函數(shù)的定義域、值域有更深的理解。 德育目標：學習轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神； 教學重點：正弦、余弦、正切線的概念。教學難點：正弦、余弦、正切線的利用。 教學過程：一、復習引入：1. 三角函數(shù)的定義2. 誘導公式練習1. D練習2. B練習3. C二、講解新課： 當角的終邊上一點的坐標滿足時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示——三角函數(shù)線。1．有向線段：坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負。有向線段：帶有方向的線段。2．三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角的頂點在原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點，過作軸的垂線，垂足為；過點作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向延長線交與點.（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅳ）（Ⅲ）由四個圖看出：當角的終邊不在坐標軸上時，有向線段，于是有， ，我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。說明：（1）三條有向線段的位置：正弦線為的終邊與單位圓的交點到軸的垂直線段；余弦線在軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。（2）三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與的終邊的交點。（3）三條有向線段的正負：三條有向線段凡與軸或軸同向的為正值，與軸或軸反向的為負值。（4）三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。4．例題分析：例1．作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線。（1）； （2）； （3）； （4）．解：圖略。例2. 例5. 利用單位圓寫出符合下列條件的角x的范圍． 答案：（1）；（2）；三、鞏固與練習：P17面練習四、小 結(jié)：本節(jié)課學習了以下內(nèi)容：1．三角函數(shù)線的定義； 2．會畫任意角的三角函數(shù)線；3．利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小，求角的范圍。五、課后作業(yè)： 作業(yè)4 參考資料：1176。 與 2176。 與 解： 如圖可知： tan tan 例2．利用單位圓尋找適合下列條件的0176。到360176。的角xyoTA210176。30176。xyoP1P21176。 sina≥ 2176。 tana 解： 1176。 2176。 30176。≤a≤150176。 30176。a90176?；?10176。a270176。補充：1．利用余弦線比較的大?。?2．若，則比較、的大?。?3．分別根據(jù)下列條件，寫出角的取值范圍： （1） ； （2） ； （3）．（1）教學目的：知識目標：；，會求角α的各三角函數(shù)值；、值域，誘導公式（一）。能力目標：（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；（2）樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)；（3）通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導公式一的推導，提高學生分析、探究、解決問題的能力。 德育目標： （1）使學生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；（2）學習轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的科學精神；教學重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義（包括這三種三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值在各象限的符號），以及這三種函數(shù)的第一組誘導公式。公式一是本小節(jié)的另一個重點。 教學難點：利用與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用他們的集合形式表示出來. 教學過程：一、復習引入：初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的？在Rt△ABC中，設(shè)A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為 ．角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義。二、講解新課： 1．三角函數(shù)定義在直角坐標系中，設(shè)α是一個任意角，α終邊上任意一點（除了原點）的坐標為，它與原點的距離為，那么（1）比值叫做α的正弦，記作，即；（2）比值叫做α的余弦，記作，即；（3）比值叫做α的正切，記作，即；（4）比值叫做α的余切，記作，即；說明：①α的始邊與軸的非負半軸重合，α的終邊沒有表明α一定是正角或負角，以及α的大小，只表明與α的終邊相同的角所在的位置； ②根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角α，四個比值不以點在α的終邊上的位置的改變而改變大?。虎郛敃r，α的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫坐標都等于，所以無意義；同理當時，無意義；④除以上兩種情況外，對于確定的值α，比值、分別是一個確定的實數(shù)，正弦、余弦、正切、余切是以角為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上四種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。函 數(shù)定 義 域值 域2．三角函數(shù)的定義域、值域