【正文】 狀態(tài)空間描 述變換為能控標準形。 22 4 1 61 6 81 2 1 2c??????????????Q b A b A b解 先判別其能控性 rank[Qc] = 3，所以系統(tǒng)是能控的。再計算系統(tǒng)的特征多項式 3d e t( ) 9 2? ? ?? ? ? ?IA 則 a1 = 0， a2 = – 9， a3 = 2 21211 0 0101c aaa?????????????c c A b A b b? ?16 4 2 1 0 00 0 1 8 6 1 0 1 012 2 1 9 0 1? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ?3 2 1?? ? 2 21 2 33 2 31 2 32392ss ssGss a s a s a s s? ? ??? ????? ? ? ? ?現(xiàn)代控制理論基礎 57 能控標準形和能觀測標準形 o?x R x11 2 1232110110 0 1nnnnnnoa a aaaa?????????????????????????????????cAcARcAc變換為能觀測標準形 (Ao, bo, co)： 定理 若 n階線性定常單輸入單輸出系統(tǒng) Σ(A, b, c) 是能觀測的，則存在線性變換 1121001000 0 1nno o o naaaa????????????? ??????A R AR 21noo?????????????????b R b? ?1 0 0 1oo ???c c R11d e t ( ) nn naa? ? ? ?? ? ? ? ?IA其中是特征多項式 的各項系數。 ? ?? ?1211211nnnn???? ? ??? ???? ?????? ? ? ? ??cbc A c bc A c A b 能觀測標準形 現(xiàn)代控制理論基礎 58 能控標準形和能觀測標準形 3d e t( ) 9 2? ? ?? ? ? ?IA 則 a1 = 0， a2 = – 9， a3 = 2 20010 2 06 2 2o? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?cQ c AcA解 首先構造能觀測性判別矩陣 因 rank[Qo] = 3，所以系統(tǒng)是能觀測的。系統(tǒng)的特征式為 1 2 0 23 1 1 10 2 0 1u? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?xx ? ?0 0 1y ? x例 試將如下狀態(tài)空間描 述變換為能觀測標準形。 3210 0 0 0 21 0 1 0 90 1 0 1 0oaaa??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?A? ?0 0 1o ?c21211010 0 1ooaaa?????????????????? ??cAb R b c A bc1 0 9 6 2 2 2 30 1 0 0 2 0 1 20 0 1 0 0 1 1 1??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? = 現(xiàn)代控制理論基礎 59 顯然，在這種狀態(tài)變量選擇下系統(tǒng)是不能控但是能觀測的。 從傳遞函數會發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的傳遞函數具有零極點對消現(xiàn)象。 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 2y y y u u? ? ? ?? ?1122120 1 11 2 1 1 0xxuxxxyx? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ????1211( ) ( )2 1 1sG s ss s s? ?? ? ? ?? ? ?c I A b例 326 試判別系統(tǒng)的狀態(tài) 能控性和能觀測性。 解 定義 于是系統(tǒng)能控性判別矩陣 Qc和能觀測性判別矩陣 Qo分別為 以下只討論 單輸入 單輸出 系統(tǒng)的傳遞函數中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間的關系。 uyxyx????21現(xiàn)代控制理論基礎 60 證明 假定系統(tǒng)是具有相異特征值的 n階單輸入 單輸出系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為 Σ(A, b, c) ， 利用線性變換可將矩陣 A對角化，得到等價系統(tǒng)為 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 u??x A x by?cx11, , ??? ? ?A P A P b P b c c P定理 若線性定常單輸入 單輸出系統(tǒng)傳遞函數中有零極點對消，則系統(tǒng)將是狀態(tài)不能控或狀態(tài)不能觀測的，其結果與狀態(tài)變量選擇有關，反之，若系統(tǒng)中沒有零極點對消，則該系統(tǒng)是完全能控且完全能觀測的。 A i i i ix x b u???由于 是對角陣，第 i個狀態(tài)方程是 兩邊取 Laplace變換，得 ( ) ( )iiibX s U ss ?? ?( ) ( )Y s X s? c現(xiàn)代控制理論基礎 61 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 ? ?11212 2( ) ( )nnnbsbY s c c c U ssbs??????????????? ??????????????1()niii icb Uss ??? ??()iXs將 代入，則 1212( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )mnK s a s a s aYs nmU s s s s? ? ?? ? ???? ? ?對特征值相異的 n階系統(tǒng)，假定傳遞函數形式是 展成部分分式 1()()n ii iYsU s s???? ?? ?i為 Y(s)/U(s)在 s=?i處留數 狀態(tài)能控要求 ≠ 0，能觀測要求 ≠ 0 ib ici i icb? ?一個即能控又能觀測的系統(tǒng)要求 ?i ≠ 0 現(xiàn)代控制理論基礎 62 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 21211( ) ( ) ( ) sbG s G s G sss???? ? ???解 組合系統(tǒng)的傳遞函數 G (s)為 由 G(s)可以看出，當 b =?2時，系統(tǒng)的傳遞函數發(fā)生零極點對消現(xiàn)象，系統(tǒng)不是即能控又能觀測的。 為了分析這個不確定性，建立該系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖： 例 設有一個由前后兩個子系統(tǒng)串聯(lián)組成的組合系統(tǒng)： yu 21s ??1sbs ???G1 (s) G2 (s) 試判斷串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測性。 現(xiàn)代控制理論基礎 63 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 121 1 121()101cobbb??? ? ??? ? ???? ??? ? ?????? ?????11 1 11()c bb?? ? ???????? ? ???Q det 0c ?Q ? ?r a n k 1 2c ??Q當 b =?2時（即 G (s)出現(xiàn)零極點對消） 則該串聯(lián)系統(tǒng)是不能控但能觀測的。 ? ?1 2 12 1 2 112110 1 0xxux x bxyx????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ????系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 其能控性和能觀測性判別矩陣為 現(xiàn)代控制理論基礎 64 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 y21s ??u1sbs ??? yu ?? 1??2?? 1b ??1x 2x例 如果將上例系統(tǒng)中兩個子系統(tǒng)的位置互換一下，如圖。試判斷該系統(tǒng)的能控性和能觀測性。 ? ?1 2 12 1 21120 11 0 1xxuxxxybx????? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ????? ????121 2 1 111 ()01cobbb??? ? ? ??? ?????????? ? ? ? ? ??? ??顯見，當 b=?2時 rank[Qo] = 1 2，系統(tǒng)是能控但不能觀測的。 其能控性和能觀測性判別矩陣為 解 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 現(xiàn)代控制理論基礎 65 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 從上面討論可知，由傳遞函數討論系統(tǒng)的能控性和能觀測性時，若有零極點對消，系統(tǒng)是能控不能觀測，還是能觀測而不能控，與系統(tǒng)的結構有關。若被消去的零點與 u發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)為不能控的；若被消去的零點與輸出 y發(fā)生聯(lián)系則系統(tǒng)是不能觀測的。進一步，若該零點既與輸入 u發(fā)生聯(lián)系，又與輸出 y發(fā)生聯(lián)系，則該系統(tǒng)是既不能控也不能觀測的。 2x1xy?3x? ? ?u 2 1 21狀態(tài)變量圖 串聯(lián)系統(tǒng)傳遞函數 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2)pr sG s G s G s s s s s s?? ? ? ?? ? ? ? ?考慮系統(tǒng) yu 1 1s ?1( 1) ( +2)sss ??傳遞函數結構圖 Gr(s) Gp(s) 系統(tǒng)穩(wěn)定 現(xiàn)代控制理論基礎 66 傳函中零極點對消與狀態(tài)能控和能觀測之間關系 0 1 3 1 0 01 4 1 0 1 1 02 2 2 1 1 1co?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?因此 （ 不能控）， （能觀測） ? ?r a n k 2c n??Q ? ?r a n k 3o n??Q該系統(tǒng)的能控性和能觀測性判別矩陣為 ? ?1 1 0 00 2 1 10 0 1 21 0 0uy? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??xxx建立狀態(tài)空間描述 1 1 0de t ( ) 2 1 ( 1 ) ( 2)( 1 )1ss s s s ss??? ? ? ? ? ? ? ??IA說明系統(tǒng)有一極點在右半平面，故該系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。 考察該系統(tǒng)的特征多項式 現(xiàn)代控制理論基礎 67 線性系統(tǒng)結構按能控性能觀測性的分解 能控且能觀測子系統(tǒng) 不完全能控和 不完全能觀測系統(tǒng) 線性變換 能控但不能觀測子系統(tǒng) 不能控但能觀測子系統(tǒng) 不能控且不能觀測子系統(tǒng) ? ? 1r a n k r a n k ncc nn???? ? ???Q B A B A B則存在線性變換 ，可將 Σ(A, B, C)變換為 ?c?x R x定理 若 n階連續(xù)時間線性定常系統(tǒng) Σ(A, B, C)是狀態(tài)不完全能控的，其能控性判別矩陣的秩為 系統(tǒng)按能控性分解 ??cc 1 1 1 2122 ? ???n n nn cccnn c?????????????0AAA R A RA??1?? n cc nnc????????????01BB R B 12? ? ? cccn n n????? ??C CR C C 12? }?? }