【文章內容簡介】 ?? ?lCCCC ~~~~ ?21?現(xiàn)代控制理論基礎 31 定理 （附） 若系統(tǒng) Σ(A, B)具有 相同 的 重特征值，則系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀測的充要條件是經線性變換的約當標準形 例 試判斷以下連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能控性。 J1 J2 C2 xyxx ?????????????????????021000300130003?C1 C1和 C2的首列成比例，不是線性無關的，所以不能觀測。 連續(xù)時間線性定常系統(tǒng)的能觀測性 12l?????????JJAJ00? ?lCCCC ~~~~ ?21?相同特征值下的約當塊 Ji 對應的 的首列線性無關。 iC~現(xiàn)代控制理論基礎 32 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 若存在控制序列 {u(0), u(1), ???, u(l1)}（ l ≤ n）能將某個初始狀態(tài) x(0)在第 l步上到達零狀態(tài)，即 x(l)=0，則稱初始狀態(tài) x(0)是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，或簡稱系統(tǒng)是狀態(tài)能控的。 (1) 能控性定義 定義 對于 n階離散時間線性定常系統(tǒng) ( 1 ) ( ) ( )k k k? ? ?x G x H u1 1 1 0( 1 ) 1 0 2 ( ) 0 ( )1 0 1 1k k u k?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?xx0211???????????x例 設離散時間線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試分析能否找到控制作用 u(0), u(1), u(2), 將初始狀態(tài) 轉移到零狀態(tài)。 現(xiàn)代控制理論基礎 33 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 0 ( 1 ) (0 ) (0 )ku? ? ?x G x h1 1 1 2 0 0 01 0 2 1 0 ( 0) 0 0 ( 0)1 0 1 1 1 3 1uu?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(0 ) 3 0 (0 ) 3uu????解 利用遞推方法 為檢驗系統(tǒng)能否在第一步使 x(0)轉移到零，對上式令 x(1)=0， 倘若能夠解出 u(0)，則表示在第一步就可以把給定初始狀態(tài) 轉移到零，且控制作用即為 u(0)。為此令 x(1)=0，則有 計算表明對該系統(tǒng)若取 u(0) = 3，則能將 x0=[2 1 1]T在第一步轉移到零。 現(xiàn)代控制理論基礎 34 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 0111???????????x0 ( 1 ) (0 ) (0 )ku? ? ?x G x h1 1 1 1 0 1 01 0 2 1 0 ( 0) 1 0 ( 0)1 0 1 1 1 2 1uu?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?例 若上例系統(tǒng)初始狀態(tài)為 解 由遞推公式，有 顯然，對于上式若令 x(1)=0，解不出 u(0)，這說明對于本例初始狀態(tài)是不能在第一步轉移到零，再遞推一步。 能否找到控制序列，將其轉移到零狀態(tài)。 現(xiàn)代控制理論基礎 35 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 1k? 2( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 1 )u u u? ? ? ? ?x G x h G x G h h0 1 03 2 ( 0) 0 ( 1 )3 1 1uu? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?若令 x(2)=0，仍無法解出 u(0)、 u(1)，再遞推一步。 2k? 32( 3 ) ( 2) ( 2) ( 0) ( 0) ( 1 ) ( 2)u u u u? ? ? ? ? ?x G x h G x G h G h h0 2 1 06 1 ( 0) 2 ( 1 ) 0 ( 2)3 2 1 1u u u?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?若令 x(3)=0，上式是一個含有三個未知量的線性齊次方程 2 1 0 ( 0) 01 2 0 ( 1 ) 62 1 1 ( 2) 3uuu?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?，有唯一解： 165( 0 ) 2 1 0 012( 1 ) 1 2 0 65( 2 ) 2 1 1 395uuu??????? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ????????現(xiàn)代控制理論基礎 36 (2) 能控性判別準則 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 ( 1 ) ( ) ( )k k k? ? ?x G x H u21 nc ???? ??Q H G H G H G H1 0 00 2 21 1 0???????????G121???????????h狀態(tài)完全能控的充分必要條件是能控性判別矩陣 ? ?ran k c n?Q滿秩。即 2111222111c??????????????Q h Gh G h解 構造能控性判別矩陣 顯然 rank[Qc]＝ 1 n，所以系統(tǒng)是不能控的。 例 試判別系統(tǒng)能控性。已知離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的 G、 h為 定理 對于 n階離散時間線性定常系統(tǒng) 現(xiàn)代控制理論基礎 37 從前三列可以看出 rank[Qc] = 3所以系統(tǒng)是能控的。 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 1 2 10 1 01 0 3??????????G100100???????????H120110???????????GH 2040142???????????GH解 首先計算 21 0 1 2 0 40 1 0 1 0 10 0 1 0 4 2c????????????Q H GH G H于是 需要指出，多輸入系統(tǒng)能控判別矩陣是一個 n nr階矩 陣。有時并不需要對整個 Qc陣檢驗其秩，只需要從 Qc陣中 構成一個 n n陣檢驗其秩，就可用于判斷狀態(tài)能控性。 例 試判別系統(tǒng)狀態(tài)的能控性。 設離散系統(tǒng) G、 H為 現(xiàn)代控制理論基礎 38 若能夠根據(jù)在有限個采樣瞬間上測量到的 y(k)，即 y(0)， y(1)， … ， y(l–1)，可以唯一地確定出系統(tǒng)的 任意 初始狀態(tài) x(0)= x0， 則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱是能觀測的。 定義 對于 n階離散時間線性定常系統(tǒng) 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 ( 1 ) ( ) ( ) ( )kkkk???x G xy C x1on ??????????????CCGQCG狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀測性判別矩陣 的秩為 n，即 rank[Qo] = n ( 1 ) ( ) ( ) ( )kkkk???x G xy C x定理 對于 n階離散時間線性定常系統(tǒng) (1) 能觀測性定義 (2) 能觀測性判別準則 現(xiàn)代控制理論基礎 39 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 2 0 31 2 00 1 2????? ? ?????G 1 0 00 1 0??? ????C21 0 00 1 02 0 31 2 04 3 120 4 3o?????????????? ???? ???????? ???????CQ C GCG例 設離散時間線性定常系統(tǒng)的 G、 C為 解 該系統(tǒng)能觀測性判別矩陣為 所以 rank[Qo] = 3，故該系統(tǒng)狀態(tài)是能觀測的。 試判別其狀態(tài)能觀測性。 03302010001??取前三行 現(xiàn)代控制理論基礎 40 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 20 1 001[ 1 0]uy?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??xxx0110c??? ????Q1001o??? ????Q顯然，該連續(xù)時間系統(tǒng)是能控且能觀測的。 采樣周期對離散時間線性系統(tǒng)能控性和能觀測性的影響 一個連續(xù)時間線性系統(tǒng)在其離散化后其能控性和能觀測性是否發(fā)生改變？ 例 設連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為 解 其能控性判別矩陣和能觀測性判別矩陣分別為 試確定使離散時間線性系統(tǒng)能控、能觀測的采樣周期。 現(xiàn)代控制理論基礎 41 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 2 2 2 21 1 122 2 2 21s inc o s[ ( ) ]s in c o ststtsse L s Ls ttss?????? ? ? ???? ? ????????? ??? ? ? ???? ???????A IAsinc o ssin c o sTTTeTT???? ? ??????????AG2 0 01 c o ss in0c o s1 s ins in c o sTT tTtte d t d tTtt??? ?? ?? ? ?????????????? ? ????? ????????? AhB22221 c o s c o s c o s s in[]s in 2 s in c o s c o scT T T TT T T T? ? ? ???? ? ? ?????? ? ????????Q h G h取采樣周期為 T，將上述系統(tǒng)離散化，因 于是離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性判別矩陣 現(xiàn)代控制理論基礎 42 離散時間線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性 10s inc o so TT ??????????????? ??cQcG32d e t s in ( c o s 1 )c TT?????Qs ind e toT???Q = 0, 1 , 2, KTk???若 det 0c ?Q det 0o ?Q則有 = 0 , 1 , 2 , KTk???則離散化后的系統(tǒng) ΣT(G, H, C) 也必不能控 (不能觀測 ) ① 若系統(tǒng) Σ(A, B, C) 不能控 (不能觀測 ) ② 則離散化后的系統(tǒng) ΣT(G, H, C) 不一定能控 (能觀測 )，與 T有關 若系統(tǒng) Σ(A, B, C) 能控 (能觀測 ) 說明 若欲使離散時間系統(tǒng)是能控及能觀測的，采樣周期應滿足 現(xiàn)代控制理論基礎 43 連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)的能控性與能觀測性 能控性定義與判別準則 0 0 0( ) ( ) ( ) = , , t t t t t J?x = A x + B u x x對于初始時刻 t0的某給定初始狀態(tài) x(t0)= x0， 存在另一個有限時刻 tf， tf t0和定義在時間區(qū)間 [t0, tf]上容許控制 u， 使得系統(tǒng)在這個控制作用下 ， 從 x0出發(fā)的軌線在 tf時刻達到零狀態(tài)即x(tf)=0， 則稱 x0在 t0時刻是系統(tǒng)的一個能控狀態(tài) 。 如果狀態(tài)空間上的所有狀態(tài)在 t0時刻都是能控的 ， 則稱系統(tǒng)在 t0時刻是狀態(tài)完全能控的 。 (1) 能控性定義 定義 若連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) 可以看出