【文章內容簡介】 x1 3 x2 2c = x1 x2 y1 1 1d = u1 y1 0Continuoustime model. 通過線性變換可將狀態(tài)空間表達式變換為約當標準型（包括對角標準型），能控標準型和能觀測標準型。MATLAB提供的函數(shù)canon( )可將狀態(tài)空間表達式變換為對角標準型或約當標準型。該函數(shù)的調用格式為：其中G為原狀態(tài)空間模型，而GJ為轉換得到的對角標準型或約當標準型。但該函數(shù)在系統(tǒng)含有重特征值時，效果不甚理想。例19 利用函數(shù)canon( )將例18中狀態(tài)空間表達式變換為對角標準型。在命令窗中運行下列命令 A=[0 1。2 3]。B=[1 1]39。C=[1 0]。G=ss(A,B,C,0)。 G1=canon(G,’modal’) 返回a = x1 x2 x1 1 0 x2 0 2b = u1 x1 x2 c = x1 x2 y1 d = u1 y1 0Continuoustime model. 如果SISO線性定常系統(tǒng)完全能控，則可通過非奇異線性變換將狀態(tài)空間表達式變換為能控標準型。我們編制的函數(shù)ctrlss( ) 可實現(xiàn)這一變換。該函數(shù)的調用格式為：其中G為原來的狀態(tài)空間模型。Gc為轉換得到的能控標準型。該函數(shù)程序如下：function Gc=ctrlss(A,B,C,D) %將狀態(tài)空間表達式變換為能控標準型n=length(A)。Uc=ctrb(A,B)。U=inv(Uc)。p1=U(n,:)。for i=1:n T(i,:)=p1*A^(i1)。endAc=T*A*inv(T)。Bc=T*B。Cc=C*inv(T)。Gc=ss(Ac,Bc,Cc,D)。例110 考慮一個系統(tǒng)，它的狀態(tài)空間表達式為 將其轉換為能控標準型。在命令窗中運行下列命令 A=[0 2 2。1 1 2。2 2 1]。B=[2 1 1]39。C=[1 1 1]。D=0。Gc=ctrlss(A,B,C,D)返回a = x1 x2 x3 x1 1 x2 0 1 x3 2 1 2b = u1 x1 x2 0 x3 1c = x1 x2 x3 y1 20 4 4d = u1 y1 0Continuoustime model.試編將狀態(tài)空間表達式變換為能觀測標準型的函數(shù)。實驗二 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的解一、實驗目的1. 掌握狀態(tài)轉移矩陣的概念。學會用MATLAB求解狀態(tài)轉移矩陣。2. 掌握線性系統(tǒng)狀態(tài)方程解的結構。學會用MATLAB求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響應，并繪制相應曲線。二、實驗內容1. 求下列系統(tǒng)矩陣A對應的狀態(tài)轉移矩陣（a） （b） （c） （d） 實驗數(shù)據(jù) (1)a A=[0 1。4 0]。syms t。 phet=expm(A*t) phet = [ cos(2*t), 1/2*sin(2*t)][ 2*sin(2*t), cos(2*t)](1)bphet = [ 2*t*exp(t)+exp(2*t), 2*exp(2*t)+2*exp(t)+3*t*exp(t), exp(2*t)exp(t)t*exp(t)][ 2*exp(2*t)2*exp(t)2*t*exp(t), 5*exp(t)+3*t*exp(t)4*exp(2*t), 2*exp(2*t)2*exp(t)t*exp(t)][ 2*t*exp(t)+4*exp(2*t)4*exp(t), 8*exp(2*t)+8*exp(t)+3*t*exp(t), 3*exp(t)+4*exp(2*t)t*exp(t)](2)1a A=[0 1。6 5]。syms s。G=inv(s*eye(size(A))A)。phet=ilaplace(G)。X0=[1 0]39。Xt1=phet*X0。 B=[0 1]39。Xt2=ilaplace(G*B*(0))Xt1 = [ 2*exp(3*t)+3*exp(2*t)][ 6*exp(2*t)+6*exp(3*t)]Xt2 = [ 0][ 0]有圖 y=initial(G,x0)y = 2. 已知系統(tǒng) （1）令初始狀態(tài)為，輸入為零。a) 用MATLAB求狀態(tài)方程的解析解。選擇時間向量t，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線。觀察并記錄這些曲線。b) 用函數(shù)initial( )計算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解, 并用函數(shù)plot( ) 繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線和輸出響應曲線。觀察并記錄這些響應曲線，然后將這一狀態(tài)響應曲線與a)中狀態(tài)響應曲線進行比較。c) 根據(jù)b)中所得的狀態(tài)響應的數(shù)值解，用命令plot(x(:,1), x(:,2))繪制系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡。記錄系統(tǒng)狀態(tài)轉移的過程，結合a)和b)中的狀態(tài)響應曲線分析這一過程。(2) 令初始狀態(tài)為零，輸入為。a) 用MATLAB求狀態(tài)方程的解析解。選擇時間向量t，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線。觀察并記錄這些曲線。b) 用函數(shù)initial( )計算系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解, 并用函數(shù)plot( ) 繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線和輸出響應曲線。觀察并記錄這些響應曲線，然后將這一狀態(tài)響應曲線與a).中狀態(tài)響應曲線進行比較。c) 根據(jù)b)中所得的狀態(tài)響應的數(shù)值解，用命令plot(x(:,1), x(:,2))繪制系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡。記錄系統(tǒng)狀態(tài)轉移的過程，結合a)和b)中的狀態(tài)響應曲線分析這一過程。（3）令初始狀態(tài)為，輸入為。求系統(tǒng)狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解，繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線、輸出響應曲線和狀態(tài)軌跡。觀察和分析這些響應曲線和狀態(tài)軌跡是否是（1）和（2）中的響應曲線和狀態(tài)軌跡的疊加。（4） 令初始狀態(tài)為零，輸入為。用函數(shù)lsim( )計算狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線、輸出響應曲線和狀態(tài)軌跡。3. 已知系統(tǒng) 且初始狀態(tài)為。（1）當輸入為時，用函數(shù)initial( )和impulse( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線、輸出響應曲線和狀態(tài)軌跡。（2）當輸入為時，用函數(shù)initial( )和step( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線、輸出響應曲線和狀態(tài)軌跡。（3）當輸入為時，用函數(shù)initial( )和lsim( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線、輸出響應曲線和狀態(tài)軌跡。（4）當輸入為時，用函數(shù)initial( ) 和lsim( )求解系統(tǒng)的狀態(tài)響應和輸出響應的數(shù)值解，并繪制系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線、輸出響應曲線和狀態(tài)軌跡。三、附錄線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣的計算線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣為。 （321）在MATLAB中, 狀態(tài)轉移矩陣可直接用指數(shù)矩陣法和拉氏反變換法計算。例21 求系統(tǒng)矩陣A對應的狀態(tài)轉移矩陣。 指數(shù)矩陣法：在命令窗中運行下列命令 A=[0 1。2 3]。syms t。 phet=expm(A*t) 返回phet =[ exp(2*t)+2*exp(t), exp(t)exp(2*t)][ 2*exp(t)+2*exp(2*t), 2*exp(2*t)exp(t)]拉氏反變換法：在命令窗中運行下列命令 A=[0 1。2 3]。 syms s。G=inv(s*eye(size(A))A) 返回G =[ (s+3)/(s^2+3*s+2), 1/(s^2+3*s+2)][ 2/(s^2+3*s+2), s/(s^2+3*s+2)]即。再對其進行拉氏逆變換，即在命令窗中輸入語句phet= ilaplace(G) 返回phet =[ exp(2*t)+2*exp(t), exp(t)exp(2*t)][ 2*exp(t)+2*exp(2*t), 2*exp(2*t)exp(t)]2. 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解如果線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 且初始狀態(tài)為，那么狀態(tài)方程解的拉氏變換式為 （322）其解為 （323）其中零輸入響應為 或 （324）零狀態(tài)響應為 或 （325）系統(tǒng)的輸出響應為 （326）例22 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 試求初始狀態(tài)為，輸入分別為和 時狀態(tài)方程的解。編制程序%ex22求輸入為時狀態(tài)方程的解。該程序如下：A=[0 1。2 3]。syms s。G=inv(s*eye(size(A))A)。phet=ilaplace(G)。X0=[1 1]39。Xt1=phet*X0。 B=[0 1]39。Xt2=ilaplace(G*B*(1/s))在命令窗中運行該程序，即 ex22 返回xt1 =[ exp(t)][ exp(t)]xt2 =[ 1/2exp(t)+1/2*exp(2*t)][ exp(t)exp(2*t)]其中xt1為零輸入響應，xt2為零狀態(tài)響應。將該程序中用代替可求出輸入為單位斜坡函數(shù)時狀態(tài)方程的解xt1 =[ exp(t)][ exp(t)]xt2 =[ 1/2*t3/41/4*exp(2*t)+exp(t)][ 1/2exp(t)+1/2*exp(2*t)]上述得到的是狀態(tài)方程的解析解，MATLAB提供的函數(shù)step( ) 、impulse( )、lsim( ) 和initial( )可以求得系統(tǒng)響應的數(shù)值解。216。 函數(shù)step( ) 可直接求取線性連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應。該函數(shù)的調用格式為： 其中G為給定系統(tǒng)LTI模型，t為時間向量。通常取t=0:dt:tend，其中tend為終值時間，而dt為時間步長。y為系統(tǒng)輸出。 這時時間向量t自動生成。 或 如果G為狀態(tài)空間模型，則x為系統(tǒng)狀態(tài)向量，否則x將返回空矩陣。 或 此時不返回任何變量，而自動地繪制單位階躍響應輸出曲線。216。 函數(shù)impulse( ) 可直接求取線性系統(tǒng)的單位脈沖響應。該函數(shù)的調用格式與函數(shù)step( )的調用