【正文】 al( ) 可求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。例23 已知系統(tǒng)為 初始狀態(tài)為，試求u(t)為單位階躍函數(shù)時系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制狀態(tài)響應(yīng)曲線和輸出響應(yīng)曲線。 A=[0 1。 B=[0。 C=[1 1]。 G=ss(A,B,C,D)。 x0=[1。[yo,t,xo]=initial(G,x0,t)。:39。39。 圖1狀態(tài)響應(yīng) 圖2 輸出響應(yīng) 在命令窗中繼續(xù)運(yùn)行下列命令，計算系統(tǒng)在輸入作用下的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制相應(yīng)的響應(yīng)曲線。pos39。color39。w39。[yu,t,xu]=lsim(G,u,t)。:39。39。再繼續(xù)運(yùn)行下列命令求系統(tǒng)總的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制相應(yīng)的響應(yīng)曲線。 x=xo+xu。:39。39。 圖3 圖4例24 已知系統(tǒng) 求出系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零，且時系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)。5 6]。0]。D=0。t=0::20。[y,t,x]=lsim(G,u,t)。:k39。k39。也可編制如下程序%ex24，先求狀態(tài)方程的解析解再求數(shù)值解，然后繪制曲線。pos39。color39。w39。A=[0 1。B=[2。C=[1 2]。G=inv(s*eye(size(A))A)。 %計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣u=1/(s+1)。 %計算狀態(tài)響應(yīng)的解析解y=C*x。xt(:,i)=subs(x(:),39。,tt)。t39。end %計算狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)的數(shù)值解plot(0:60,xt,39。,0:60,yt,39。)gtext(39。,39。,8)gtext(39。,39。,8)gtext(39。,39。,8)在命令窗中運(yùn)行該程序得到狀態(tài)和輸出響應(yīng)解析解和數(shù)值解，以及相應(yīng)的曲線如圖5。編制程序%ex251求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 1]。 phez=inv(z*eye(size(G))G)*z。該程序如下%ex252figure(39。,[50 50 200 150],39。,39。)。 1]。1]。D=0。n=20。dstep(G,H,C,D,u,n)。實驗三 線性定常系統(tǒng)的能控性和能觀測性一、實驗?zāi)康?. 掌握能控性和能觀測性的概念。2. 掌握系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。3. 掌握最小實現(xiàn)的概念。二、實驗內(nèi)容1. 已知系統(tǒng) （1）判斷系統(tǒng)狀態(tài)的能控性和能觀測性，以及系統(tǒng)輸出的能控性。（2）令系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，系統(tǒng)的輸入分別為單位階躍函數(shù)和單位脈沖函數(shù)。觀察和記錄這些曲線。用MATLAB函數(shù)計算系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng)，并繪制響應(yīng)的曲線。當(dāng)輸入改變時, 每個狀態(tài)變量曲線是否隨著改變？能否根據(jù)這些曲線判斷系統(tǒng)以及各狀態(tài)變量的能控性？不能控和能控狀態(tài)變量的響應(yīng)曲線有何不同？（5）根據(jù)（2）和（4）所得曲線能否判斷系統(tǒng)狀態(tài)以及各狀態(tài)變量的能觀測性？實驗數(shù)據(jù) (1)能控性： A=[3 4。B=[4。Uc=ctrb(A,B)。1 0]。 Vo=obsv(A,C)。1 0]。1]。D=0。Uy=[C*Uc D]。1 0]。1]。D=0。Gcanon=canon(G) a = x1 x2 x1 4 0 x2 0 1 b = u1 x1 x2 0 c = x1 x2 y1 0 d = u1 y1 0 Continuoustime model. A=[4 0。B=[。Uc=ctrb(A,B)。1 0]。1]。D=0。Gcanon=canon(G) a = x1 x2 x1 4 0 x2 0 1 b = u1 x1 x2 0 c = x1 x2 y1 0 d = u1 y1 0 Continuoustime model. A=[4 0。 C=[ 0]。 rank(Vo)ans = 13. b 最小實現(xiàn) z=[1]。k=1。Gss=ss(G)。0 3]。]。rank(Uc)ans = 2最小實現(xiàn)能觀性： A=[2 4。C=[ 0]。rank(Vo)ans = 22. 已知系統(tǒng) （1）將給定的狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。（2）按能控性分解給定的狀態(tài)空間模型并記錄所得的結(jié)果，然后再將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。這一曲線與（1）中的輸出曲線是否一致？為何？（3）按能觀測性分解給定的狀態(tài)空間模型并記錄分解所得的結(jié)果，然后再將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。這一曲線與（1）中的輸出曲線是否一致？（4）按能控性能觀測性分解給定的狀態(tài)空間模型并記錄分解所得的結(jié)果，然后再將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型。這一曲線與（1）中的輸出曲線是否一致？為何？3. 已知系統(tǒng) （a） （b） 用函數(shù)minreal( )求最小實現(xiàn)。三、附錄1. 能控性1）線性定常系統(tǒng)狀態(tài)能控性的判斷n階線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件是：能控性矩陣的秩為n。能控性矩陣的秩即稱為能控性指數(shù)，表示系統(tǒng)能控狀態(tài)變量的數(shù)目，可由MATLAB提供的函數(shù)rank( )求出。0 2 0。 B=[2 1。1 1]。 rank(Uc) 返回ans = 2因為rank(Uc)=2n，所以系統(tǒng)的狀態(tài)不完全能控。nc=rank(Uc)。if n==nc disp(39。)else disp(39。)end在命令窗中運(yùn)行下列命令 A=[1 3 2。0 1 3]。1 1。sctrb(A,B) 返回system is not pletely state controllable2）線性定常系統(tǒng)輸出能控性的判斷線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)輸出能控的充分必要條件是：矩陣的秩為m，其中r為系統(tǒng)的輸入個數(shù)，m為輸出個數(shù)。1 0]。1]。D=0。Uy=[C*Uc D]。類似的，也可編制判斷輸出能控性的函數(shù)。能觀測性矩陣可以用MATLAB提供的函數(shù)obsv( )自動產(chǎn)生，其調(diào)用格式為: 其中A, C分別為系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣，為能觀測性矩陣。可由MATLAB提供的函數(shù)rank( )求出。0 2 0。 C=[2 1 1。 Vo=obsv(A,C)。類似地，也可編制判斷狀態(tài)能觀測性的函數(shù)。MATLAB提供的函數(shù)ctrbf( ), 可將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為如下形式: （331）該函數(shù)的調(diào)用格式為：其中為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，為分解后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。例34 按能控性分解 在命令窗中運(yùn)行下列命令 A=[0 0 1。0 1 3]。1。 C=[0 1 2]。函數(shù)rot90( )的調(diào)用格式為 將矩陣a逆時針旋轉(zhuǎn).我們編制的函數(shù)cdes ( )能夠?qū)⑾到y(tǒng)分解為這種形式。為相應(yīng)的線性變換矩陣。該函數(shù)的程序如下function [Ac,Bc,Cc,Tc,k]=cdes(A,B,C) %按能控性分解U=ctrb(A,B)。n=size(A,1)。 for i=2:n*m t2=[t1,U(:,i)]。 else t1=t1。 end end p=zeros(nm,n)。 Tc=[t1,p39。 if rank(Tc)==n break。 Bc=inv(Tc)*B。 k=m。1 0 3。B=[1。0]。[Ac Bc Cc Tc]=cdes(A,B,C)返回Ac = 0 1 1 1 2 2 0 0 1Bc = 1 0 0Cc = 1 1 2Tc = 1 0 0 1 1 0 0 1 1k =22) 按能觀測性分解如果線性系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測，則可通過非奇異線性變換將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為能觀測和不能觀測兩部分。為相應(yīng)的線性變換矩陣，返回系統(tǒng)能控狀態(tài)變量的數(shù)目。1 0 3。 B=[1。0]。 [Ao Bo Co To Ko]=obsvf(A,B,C)另一種按能觀測性分解的形式為 （334）將由ctrbf( )函數(shù)得到的各系數(shù)矩陣均利用MATLAB提供的函數(shù)rot90（ ）旋轉(zhuǎn)就可得這種形式。該函數(shù)的調(diào)用格式為 其中為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，()為分解后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。k表示能觀測的狀態(tài)變量的數(shù)目。m=rank(V)。if m~=n t1=V(1,:)。V(i,:)]。 else t1=t1。 end end p=zeros(nm,n)。 To=[t1。 if rank(To)==n break。 Bo=To*B。 k=m。1 0 3。B=[1。0]。 [Ao Bo Co To k]=odes(A,B,C)返回Ao = 0 1 0 1 2 0 1 0 1Bo = 1 1 0Co = 1 0 0To = 0 1 2 1 2 3 0 0 1k = 23) 按能控性和能觀測性分解（Kalman分解）如果線性系統(tǒng)的狀態(tài)不完全能控和不完全能觀測，則可通過非奇異線性變換將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為能控能觀測、能控不能觀測、不能控能觀測和不能控不能觀測四部分。該函數(shù)的程序如下function [Ak, Bk, Ck ,Tk]=kalmdec(A,B,C) %按能控能觀測性分解[Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C)。n=length(A)。[Ao1,Bo1,Co1,To1,Ko1]=obsvf(Ac(ic,ic),Bc(ic),Cc(ic))。 [Ao2,Bo2,Co2,To2,Ko2]=obsvf(Ac(inc,inc),Bc(inc),Cc(inc))。 [m2,n2]=size(To2)。 zeros(m1,n2),To1]。n1=rank(obsv(Ac(ic,ic),Cc(ic)))。K=[zeros(1,nncn2),ones(1,n2),2*ones(1,ncn1),3*ones(1,n1)]。Bk1=T*B。Ak=rot90(Ak1,2)。Ck=rot90(Ck1,2)。例36 按能控性和能觀測性分解例34中系統(tǒng)在命令窗中運(yùn)行下列命令: A=[0 0 1。0 1 3]。1。 C=[0 1 2]。例37 求例31中系統(tǒng)的最小實現(xiàn)。1 0 3。 B=[1。0]。G=ss(A,B,C,0)。學(xué)會使用MATLAB確定線性定常系統(tǒng)和非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用函數(shù)pzmap( )繪制系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。（2）任意給定對稱正定矩陣Q，用函數(shù)lyap( )求解Lyaponov方程，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3）令， ，任意給定初始狀態(tài)。說明穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線與不穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線的區(qū)別。 用函數(shù)step( )求出系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的狀態(tài)響應(yīng)和輸出響應(yīng), 并繪制相應(yīng)的曲線。2. 已知非線性系統(tǒng)（1） （2） 編制相應(yīng)的程序，用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定