【文章內(nèi)容簡介】 ，并以一種方法和一個(gè)數(shù)值例子為例，求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； 答：求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有： 方法一 直接計(jì)算法： 根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義 來直接計(jì)算，只適合一些特殊矩陣 A。 方法二 通過線性變換計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，設(shè)法通過線性變換，將矩陣 A 變換成對角矩陣或約當(dāng)矩陣，進(jìn)而利用方法得到要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 方法三 拉普拉斯變換法： ])[( 11 ?? ?? AsILe At 。 方法四 凱萊 哈密爾頓方法 根據(jù)凱萊 哈密爾頓定理和，可導(dǎo)出 Ate 具有以下形式： 其中的 )(),(),( 120 ttt n ???? ?均是時(shí)間 t 的標(biāo)量函數(shù)。根據(jù)矩陣 A有 n個(gè)不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。 舉例：利用拉普拉斯變換法計(jì)算由狀態(tài)矩陣 所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 由于 故 四、（ 10分）解釋狀態(tài)能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說明之。 答：狀態(tài)能觀性的含義：狀態(tài)能觀性反映了通過系統(tǒng)的輸出對系統(tǒng)狀態(tài)的識別能力，對一個(gè)零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，則可以通過一段時(shí)間內(nèi)的測量輸出來估計(jì)之前某個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。 狀態(tài)能觀的判別方法： 對于 n階系統(tǒng) 1. 若其能觀性矩陣???????????????1noCACAC列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀 2. 若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣 非奇異，則系統(tǒng)完全能觀。 舉例： 對于系統(tǒng) 其能觀性矩陣 的秩為 2，即是列滿秩的，故系統(tǒng)是能觀的。 五、（ 20分）對一個(gè)由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答： （ 1） 能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什么？ （ 2） 簡單敘述兩種極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法； （ 3） 試通過數(shù)值例子說明極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)。 答：（ 1）能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件：系統(tǒng)是能控的。 （ 2）極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法有直接法、變換法、愛克曼公式法。 ① 直接法 驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。 設(shè)狀態(tài)反饋控制器 u =? Kx，相應(yīng)的閉環(huán)矩陣是 A? BK，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 由期望極點(diǎn) n?? ,1 ? 可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式 通過讓以上兩個(gè)特征多項(xiàng)式相等，可以列出一組以控制器參數(shù)為變量的線性方程 組，由這組線性方程可以求出極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋的增益矩陣 K。 ② 變換法 驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。 將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，相應(yīng)的狀態(tài)變換矩陣 設(shè)期望的特征多項(xiàng)式為 而能控標(biāo)準(zhǔn)型的特征多項(xiàng)式為 所以，狀態(tài)反饋控制器增益矩陣是 （ 3） 采用直接法來說明極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì) 考慮以下系統(tǒng) 設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為 2? 和 ? 3。 該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為 該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統(tǒng)能控。 設(shè)狀態(tài)反饋控制器 將 其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 其特征多項(xiàng)式為 由期望的閉環(huán)極點(diǎn) ? 2和 ? 3，可得閉環(huán)特征多項(xiàng)式 通過 可得 由此方程組得到 因此，要設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器 六、（ 20分）給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 Axx?? （ 1） 試問如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？ （ 2） 試通過一個(gè)例子說明您給出的方法； （ 3） 給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。 答： （ 1）給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型 Axx?? 是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對任意給定的對稱正定矩陣 Q，矩陣方程 QPAPAT ??? 有一個(gè)對稱正定解矩陣 P。因此，通過求解矩陣方程 QPAPAT ??? ，若能得到一個(gè)對稱正定解矩陣 P，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對稱正定解矩陣 P， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選取 Q = I。 （ 2）舉例：考慮由以下狀態(tài)方程描述的二階線性時(shí)不變系統(tǒng)： 原點(diǎn)是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李 雅普諾夫方程： QPAPAT ??? ，其中的未知矩陣 將矩陣 A和 P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 為了計(jì)算簡單，選取 Q =2I，則從以上矩陣方程可得： 求解該線性方程組，可得： 即 判斷可得矩陣 P是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 （ 3）李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對一個(gè)動態(tài)系統(tǒng)和確定的平衡狀態(tài)，通過分析該系統(tǒng)運(yùn)動過程中能量的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體地說，就是構(gòu)造一個(gè)反映系統(tǒng)運(yùn)動過程中能量變化的虛擬能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運(yùn)動軌跡，通過該能量函數(shù)關(guān)于 時(shí)間導(dǎo)數(shù)的取值 來判斷系統(tǒng)能量在運(yùn)動過程中是否減少，若該導(dǎo)數(shù)值都是小于零的，則表明系統(tǒng)能量隨著時(shí)間的增長是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統(tǒng)運(yùn)動上，就是系統(tǒng)運(yùn)動逐步趨向平緩，直至在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來，這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 《現(xiàn)代控制理論》復(fù)習(xí)題 3 一、（ 10分，每小題 2分）試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號里打√，反之打。 （ ） 1. 具有對角型狀態(tài)矩陣的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)可以看成是由多個(gè)一階環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)； （ ） 2. 要使得觀測器估計(jì)的狀態(tài)盡可能快地逼近 系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)，觀測器的極點(diǎn)應(yīng)該比系統(tǒng)極點(diǎn)快 10倍以上； （ ） 3. 若傳遞函數(shù) BAsICsG 1)()( ??? 存在零極相消，則對應(yīng)狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控的； （ √ ） 4. 若線性系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的； （ √ ） 5. 若線性二次型最優(yōu)控制問題有解，則可以得到一個(gè)穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。 二、（ 20分）（ 1）如何由一個(gè)傳遞函數(shù)來給出其對應(yīng)的狀態(tài)空間模型，試簡述其解決思路？ （ 2）給出一個(gè)二階傳遞函數(shù))5)(3( 52)( ?? ?? ss ssG的兩種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。 解：（ 1）單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是 若 0?nb ，則通過長除法，傳遞函數(shù) )(sG 總可以轉(zhuǎn)化成 將 分解成等效的兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)的串聯(lián)： 可得一個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn) 串聯(lián)法 其思想是將一個(gè) n階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的乘積，然后寫出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫出原來系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 并聯(lián)法 其的思路是把一個(gè)復(fù)雜的傳遞函數(shù)分解成若干 低階傳遞函數(shù)的和，然后對每個(gè)低階傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后根據(jù)并聯(lián)關(guān)系給出原來傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。 （ 2）方法一：將 )(sG 重新寫成下述形式： 每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 又因?yàn)?11 uy? ， 所以 因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 方法二：將 )(sG 重新寫成下述形式： 每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 又由于 因此，若采用 并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 方法三：將 )(sG 重新寫成下述形式： 則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 評分標(biāo)準(zhǔn)：問題（ 1） 10分，由一個(gè)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型思路清晰，方法正確 10分；問題（ 2） 10分，兩種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)方法各 5分。 三、（ 20分）（ 1）試問狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么？ （ 2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是否包含了對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息？ （ 3）介紹兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法； （ 4）計(jì)算系統(tǒng) ?????? ??? 32 10x?的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 解：（ 1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是決定狀態(tài)沿著軌線從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一個(gè)狀態(tài)的規(guī)律，即初始狀態(tài) x0在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ (t,t 0)的作用下， t0時(shí)刻的初始狀態(tài) x0經(jīng)過時(shí)間 t? t0后轉(zhuǎn)移到了時(shí)刻 t的狀態(tài) x (t)。 （ 2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了對應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；對于自治系統(tǒng) （ 3）拉普拉斯變換法、凱萊 哈密爾頓法、線性變換法、直接計(jì)算法。 方法一 直接計(jì)算法 根據(jù)定義， 我們已經(jīng)知道上式中的矩陣級數(shù)總是收斂的，故可以通過計(jì)算該矩陣級數(shù)的和來得到所要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 方法二 線性變換法 如果矩陣 A是一個(gè)可對角化的矩陣，即存在一個(gè)非奇異矩陣 T，使得 則 方法三 拉普拉斯變換法 方法四 凱萊 哈密爾頓法 解一個(gè)線性方程組 其系數(shù)矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當(dāng)λ 1,λ 2, ,λ n互不相同時(shí)，行列式的值不為零，從而從方程組可得惟一解α 0(t), α1 (t), ,α n? 1 (t) 可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 （ 4）方法一：線性變換法， 容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 A的兩個(gè)特征值是 2,1 21 ???? ?? ，它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣 A可以對角化。矩陣 A對應(yīng)與特征值2,1 21 ???? ?? 的特征向量是 取變換矩陣 因此， 從而， 方法二：拉普拉斯變換法，由于 故 方法二：凱萊 哈密爾頓法 將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫成 系統(tǒng)矩陣的特征值是 1和 2，故 解以上線性方程組，可得 因此， 評分標(biāo)準(zhǔn)：每個(gè)問題 5分。問題（ 1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義敘述完整 5分；問題（ 2）判斷正確 5分；問題（ 3）給出兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩 陣的方法 5分；問題（ 3）方法和結(jié)果正確 5分。 四、（ 20分）（ 1）解釋系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義； （ 2）給出能控性的判別條件，并通過一個(gè)例子來說明該判別條件的應(yīng)用； （ 3）若一個(gè)系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時(shí)間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實(shí)際中能實(shí)現(xiàn)嗎？為什么？ 解：（ 1）對一個(gè)能控的狀態(tài)，總存在一個(gè)控制律，使得在該控制律作用下，系統(tǒng)從此狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)有限時(shí)間后轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。 （ 2）通過檢驗(yàn)?zāi)芸匦耘袆e矩陣 ][ 1 BAABB n?? 是否行滿秩來判別線性時(shí)不變系統(tǒng)的能 控性。若能控性判別矩陣是行滿秩的，則系統(tǒng)是能控的。 試判別由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性： 系統(tǒng)的能控性判別矩陣 由于 即矩陣Γ c[A, B]不是滿秩的，該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。 （ 3）若一個(gè)系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時(shí)間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)， T越小，則控制律的參數(shù)越大，從而導(dǎo)致控制信號的幅值很大，這要求執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度要很大，從而使得在有限時(shí)間內(nèi)完成這一控制作用所需要消耗的能量也很大。由于在實(shí)際過程中，執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度總是有限的（如閥門 的開度等），能量供應(yīng)也是有限制的。 評分標(biāo)準(zhǔn)：問題（ 1）系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義敘述完整 6分；問題 (2) 能控性的判別條件 4分，舉例 3分；問題（ 3）判斷正確 3分，原因分析正確 4分。 五、（ 20分）（ 1）能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什么？ （ 2）已知被控對象的狀態(tài)空間模型為 ? ?xyuxx23104310?????????????? ???? 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)極點(diǎn)為 ? 4和 ? 5。 （ 3）極點(diǎn)配置是否會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能？若會的話，如何克服？試簡單敘述之？ 解：（ 1）能夠通過狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條 件是系統(tǒng)狀態(tài)能控。 （