現(xiàn)代控制理論-第1章(編輯修改稿)
2024-09-03 10:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 量，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空問表達(dá)式： （ 28） 另一種實(shí)現(xiàn)形式： 設(shè)待實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)仍為： 等效變換 求得其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為： （ 29） （ 29） 等效 （ 26） 為求得 令式（ 29）與式（ 26）相等，通過對 多項(xiàng)式系數(shù)的比較得： 故得： （ 30） 也可將式 (30)寫成式 (31)的形式，以便記憶。 （ 31） 即 （ 32） 擴(kuò)展到 階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為： 將上圖 a的每個(gè)積分器輸出選作狀念變最，如圖所示，得這種結(jié)構(gòu)下的 狀態(tài)空間表達(dá)式： （ 33） 式中 （ 34） 或記為： 多輸入一多輸出系統(tǒng)微分方程的實(shí)現(xiàn) 一雙輸入一雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)的微積分方程為： （ 35） 同單輸入一單輸出系統(tǒng)一樣，式 (35)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)也是非唯一的。現(xiàn)采用 模擬結(jié)構(gòu)圖的方法，按高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)求解： 對每一個(gè)方程積分： 故得模擬結(jié)構(gòu)圖，如下圖所示： 取每個(gè)積分器的輸出為一個(gè)狀態(tài)變量，如上圖所示。則式（ 35）的一種 實(shí)現(xiàn)為： 或表示為： （ 36） 狀態(tài)矢量的線性變換 (坐標(biāo)變換 ) 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性 對于一個(gè)給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種 狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng)，也就是說系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。所選取的 狀態(tài)矢量之間，實(shí)際上是一種矢量的 線性變換 (或稱坐標(biāo)變換 )。 設(shè)給定系統(tǒng)為： （ 37） 我們總可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣 將原狀態(tài)矢量 作線性變換， 得到另一狀態(tài)矢量 設(shè)變換關(guān)系為： 即 代入式（ 37），得到新的狀態(tài)空間表達(dá)式： （ 38） 系統(tǒng)特征值 就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程： （ 43） 的根。 方陣 A且有 n個(gè)特征值；實(shí)際物理系統(tǒng)中， 為實(shí)數(shù)方陣， 故特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)槌蓪曹棌?fù)數(shù)；如 為實(shí)對稱方陣，則其特征值都 是實(shí)數(shù)。 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量 系統(tǒng) 2．系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性 同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得： 其特征方程為： （ 44） 式 (43)與式 (44)形式雖然不同，但實(shí)際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的 ?？梢宰C明如下： 式 (43)與式 (44)形式雖然不同，但實(shí)際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的 ?？梢宰C明如下： 將特征方程寫成多項(xiàng)式形式 由于特征 值全由特征多項(xiàng)式的系數(shù) 唯一確定，而特征值 經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系統(tǒng) 也是不變 的量。所以稱 特征多項(xiàng)式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量 。 一個(gè) 維矢量 ,經(jīng)過以 作為變換陣的變換，得到一個(gè)新的矢量 即 如果此 即矢量 經(jīng) 線性變換后，方向不變，僅長度變化 倍則稱 為 的對應(yīng)于 的特征矢量，此時(shí)有 3．特征矢量 狀態(tài)空間表達(dá)式變換為約旦標(biāo)準(zhǔn)型 這里的問題是將 (45) 變換為： (46) 根據(jù)系統(tǒng)矩陣 求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣 ?無重根時(shí)
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