現(xiàn)代控制理論第4章(編輯修改稿)
2025-09-11 23:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 PAPA T ???(1) 如果系統(tǒng)只包含實狀態(tài)向量 和實系統(tǒng)矩陣 A，則Lyapunov函數(shù) 變 為 ，且 Lyapunov方程為 QxxxV H??)(?(2) 如果 沿任一條軌跡不恒等于零， 則 Q可取正半定矩陣。 )(xV?0?ex(3) 如果取任意的正定矩陣 Q，或如果 沿任一軌跡不 恒等于零時取任意的正半定矩陣 Q，并求解矩陣方程 以確定 P，則對于在平衡點 處的漸近穩(wěn)定性， P為正定是充要條件。 則 沿任意軌跡不恒等于零。 nAQAr an kn?????????????? 12/12/12/1?)(tV?注意， 如果正半定矩陣 Q滿足下列秩的條件 2/1QPQPP ???(4) 只要選擇的矩陣 Q為正定的（或根據(jù)情況選為正半定的），則最終的判定結(jié)果將與矩陣 Q的不同選擇無關(guān)。 (5) 為了確定矩陣 P的各元素，可使矩陣 和矩陣 –Q 的各元素對應相等。為了確定矩陣 P的各元素 將導致 n(n1)/2個線性方程。 如果用 表示矩陣 A的特征值，則每個特征值的重數(shù)與特征方程根的重數(shù)是一致的，并且如果每兩個根的和 則 P的元素將唯一地被確定。 注意，如果矩陣 A表示一個穩(wěn)定系統(tǒng)，那么 的和總不等于零。 PAPA H ?jiij pp ?n??? , 21 ?0?? kj ??kj ?? ?(6) 在確定是否存在一個正定的 Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣 P時，為方便起見，通常取 ， I為單位矩陣。從而， P的各元素可按下式確定 然后再檢驗 P是否正定。 IQ?IPAPA H ???上式可寫為 IPAPA T ???此時實對稱矩陣 P可由下式確定 PxxxV T?)([解 ] 不妨取 Lyapunov函數(shù) 顯然，平衡狀態(tài)是原點。 試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ?????????????????????21211110xxxx??[例 ] 設(shè)二階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 從方程組中解出 、 、 ，可得 11p 12p 22p為了檢驗 P的正定性，可校核各主子行列式 將矩陣方程展開，可得聯(lián)立方程組為 01212123,02321 ?????? 顯然， P是正定的。 因此，在 原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的，且Lyapunov函數(shù)為 )223(21)( 222121 xxxxPxxxV T ????])(2[21 2212221 xxxx ????)()( 2221 xxxV ????此時 [例 ] 試確定如圖 K的穩(wěn)定范圍。 圖 控制系統(tǒng) uKxxxKxxx?????????????????????????????????????????????0010120010321321???[解 ] 容易確定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 在確定 K的穩(wěn)定范圍時，假設(shè)輸入 u為零。于是上式可寫為 () () () 21 xx ??322 2 xxx ????313 xKxx ????3x 1x00 1 ??? Kx如果 恒等于零， 也必恒等于零，因為由式 (）可得 23)( xQxxxV T ?????)(xV? 3x取 恒等于零，意味著 也恒等于零。 為了證實這一點，注意 QxxxV T??)(?由于除原點外 不恒等于零，因此可選上式的 Q。 假設(shè)取正半定的實對稱矩陣 Q為 ???????????100000000Q() 由式 (）到（ ）可發(fā)現(xiàn)，原點是平衡狀態(tài) 于是 只在原點處才恒等于零。因此，為了分析穩(wěn)定性，可采用由式 (）定義的矩陣 Q。 )(xV???????????????????????????????????????????10000001000000010000000022/12/12/1KKKAQA也可檢驗下列矩陣的秩 1x 2x20 x?如果 恒等于零， 也恒等于零。因為由式 (）可得 顯然， 對于 ，其秩為 3。因此可選擇這樣的 Q用于 Lyapunov方程。 0?KQPAPA T ???求解如下 Lyapunov方程為 它可重寫為 ,02 13 ?? Kp ,02 121123 ???? ppKp,0131233 ???? ppKp ,042 2212 ?? pp,03 222313 ??? ppp122 3323 ??? pp,02 13 ?? Kp ,02 121123 ???? ppKp,0131233 ???? ppKp ,042 2212 ?? pp,03 222313 ??? ppp 122 3323 ??? pp,013 ?p,02 121123 ???? ppKp,21 221233 pKpKp ??,2 2212 pp ?,31 2223 pp ?,122 3323 ??? pp1432 2222 ??? pKpKKp212322 ?? 對 P的各元素求解 ?????????????????????????KKKKKKKKKKKKKKKP212621202122123212602126212122 為使 P成為正定矩陣，其充要條件為 0?K和 60 ?? K或 60 ?? K因此， 當時 ，系統(tǒng)在 Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，也就是說，原點是大范圍漸近穩(wěn)定的。 對于線性定常系統(tǒng)，利用李亞普諾夫判據(jù)不但可以判斷其原點平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定，而且還可以對其自由運動趨向原點平衡狀態(tài)的收斂快慢作出估計 。 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定自由運動的衰減率性能估計 考察線性定常自治系統(tǒng) ， ， (） Axx ?? 0)0( xx ? 0?t)(xV顯然， 越小，相應地自由運動衰減的越慢。 )(xV?)(xV來表征系統(tǒng)自由運動的衰減性能， 稱為衰減系數(shù)。 () 當系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定時， 正定，而 為負定，因此引入如下定義的一個正實數(shù) 衰減系數(shù) )(xV?)(xV系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是系統(tǒng)狀態(tài)的正定函數(shù)， 是系統(tǒng)某種 “ 能量 ” 的度量，而 則為 “ 能量 ” 隨時間的變化速率。 常數(shù)??????? ??)()(m i nm i n xVxV ?? () 一般來說，直接由 ()難以直接進行估計，一般取 () 由此得出 對 (
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1