現(xiàn)代控制理論第一章-控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型(編輯修改稿)
2024-09-03 11:09 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ??)()()()()()()()()()(212222111211sgsgsgsgsgsgsgsgsgsmrmmrr??????yuG其結(jié)構(gòu)為 式中， 表示只有第 j 個(gè)輸入作用時(shí)，第 i 個(gè)輸出量 對(duì)第 j 個(gè)輸入量 的傳遞函數(shù)。 )(sgij )(syi)(suj例 17 線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為 uxx??????????????????????????100100211340010? xy ???????100001求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。 解 ? ????????????????????????????????????10010021134001100001)(11sssss BAICG yu?????????????? )4()1(323116123 sssssss 正則（嚴(yán)格正則）有理傳遞函數(shù)（矩陣） 如果當(dāng) 時(shí)， 是有限常量，則稱(chēng)有理函數(shù) 是正則的。若 ，則稱(chēng) 是嚴(yán)格正則的。 ??s )(?ijg)(sgij0)( ??ijg )(sgij非正則傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)在實(shí)際的控制工程中是不能應(yīng)用的，因?yàn)檫@時(shí)系統(tǒng)對(duì)高頻噪聲將會(huì)大幅度放大。例如微分器 為非正則系統(tǒng)，假如輸入信號(hào)帶有高頻污染 經(jīng)過(guò)微分器輸出 ssg ?)(tttu 10 00c os)( ??tttudtdty 1 0 0 0s in10s in)()( ????可見(jiàn)，在微分器輸入端，噪聲的幅值只是有效信號(hào)幅值的百分之一，輸出端噪聲的幅值卻是有效信號(hào)幅值的 10倍，信噪比變得很小。 閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣 )()()( sss BuE ??)()()()()()( ssssss EGHyHB ??? ? )()()()()( 1 sssss uGHGIy ???于是閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣為 ? ? )()()()( 1 ssss GHGIG H ???或 ? ?1)()()()( ??? ssss GHIGG H 傳遞函數(shù)（矩陣）描述和狀態(tài)空間描述的比較 1）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入 輸出間的關(guān)系描述，非初始松弛系統(tǒng)，不能應(yīng)用這種描述；狀態(tài)空間表達(dá)式即可以描述初始松弛系統(tǒng)，也可以描述非初始松弛系統(tǒng)。 2）傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；而狀態(tài)空間表達(dá)式可以在定常系統(tǒng)中應(yīng)用，也可以在時(shí)變系統(tǒng)中應(yīng)用。 3）對(duì)于數(shù)學(xué)模型不明的線性定常系統(tǒng)，難以建立狀態(tài)空間表達(dá)式；用實(shí)驗(yàn)法獲得頻率特性，進(jìn)而可以獲得傳遞函數(shù)。 4）傳遞函數(shù)一般僅適用于單入單出系統(tǒng)；狀態(tài)空間表達(dá)式可用于多入多出系統(tǒng)的描述。 5）傳遞函數(shù)只能給出系統(tǒng)的輸出信息；而狀態(tài)空間表達(dá)式不僅給出輸出信息，還能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)信息。且一般有 m≤n。 綜上所示，傳遞函數(shù)（矩陣）和狀態(tài)空間表達(dá)式這兩種描述各有所長(zhǎng)，在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中都得到廣泛應(yīng)用。 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述 狀態(tài)空間表達(dá)式 首先，考察三階差分方程 1. 差分方程中不含有輸入量差分項(xiàng) )()()1()2()3( 0012 kubkyakyakyaky ???????選取狀態(tài)變量 )()(1 kykx ?)1()1()( 12 ???? kxkykx)1()2()( 23 ???? kxkykx)()()()()3()1( 01021323 kubkxakxakxakykx ????????寫(xiě)成矩陣形式 )(00)()()(100010)1()1()1(0321210321kubkxkxkxaaakxkxkx????????????????????????????????????????????????可以表示為 )()()1( kukk HGxx ??????????????)()()()(321kxkxkxkx其中 ??????????????210100010aaaG???????????000bH輸出方程 ? ????????????)()()(001)(321kxkxkxky或者 )()( kky Cx? 其中 ? ?001?C推廣到 n階線性定常差分方程所描述的系統(tǒng) )()()1()1()( 0011 kubkyakyankyanky n ????????? ? ?選取狀態(tài)變量 ， ， … … ， )(ky )1( ?ky )1( ?? nky系統(tǒng)狀態(tài)方程 )(000)()()(100000010000010)1()1()1(0211321021kubkxkxkxaaaaakxkxkxnnn ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ??????????????)()()(001)(21kxkxkxkyn??輸出方程 2. 差分方程中含有輸入量差分項(xiàng) )()1()2()3()()1()2()3(0123012kubkubkubkubkyakyakyaky?????????????先考察 3階線性定常差分方程 選擇狀態(tài)變量 )()()( 01 kukykx ???)()1()()1()1()( 11102 kukxkukukykx ??? ????????)()1()2()2()( 2103 kukukukykx ??? ???????)()1( 22 kukx ????待定系數(shù)為： 30 b??0221 ?? ab ??120222 ??? aab ???22110003 ???? aaab ????)()()()(100010)1()1()1(321321210321kukxkxkxaaakxkxkx???????????????????????????????????????????????????系統(tǒng)狀態(tài)方程為 )()()1( kukk HGxx ???即： 輸出方程為 ? ? )()()()(001)( 0321kukxkxkxky ?????????????即： )()()( kdukky ?? Cx多輸入 多輸出線性時(shí)變離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 )()()()()1( kkkkk uHxGx ???)()()()()( kkkkky uDxC ??)(kG )(kH )(kC )(kD當(dāng) 、 、 和 的諸元素與時(shí)刻 無(wú)關(guān)時(shí)，即得線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 k)()()1( kkk HuGxx ???)()()( kkky DuCx ?? 脈沖傳遞函數(shù)（矩陣） 對(duì)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行 z 變換 )()()0()( zzzzz HuGxxx ???)0()()(][ xHuxGI zzzz ???如果 存在，則 1]GI[ ??z)0(x]GI[)(Hu]GI[)( 11 zzzzzx ?? ????其中， 為系統(tǒng)狀態(tài)對(duì)輸入量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣 如果初始松弛，則 )(u)(G)(Hu]GI[)(x xu1 zzzzz ??? ?H]GI[)(G 1xu ??? zz)()()(}][{)()()( 1 zzzzzzz uGuDHGICDuCxy yu?????? ?系統(tǒng)輸出向量對(duì)輸入向量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣 DHGICG yu ??? ? 1][)( zz例 19 已知線性定常離散系統(tǒng)方程為 )(10)( 10)1( kukk ????????????????? xx )(1011)( kk xy???????求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣 解 ??????????????????????? ??1011011][)( 11zzzz HGICGyu??????????????????))(())((1zzzzzz對(duì)于 SISO線性定常離散系統(tǒng) )()()1( kukk hGxx ??????)()()( kdukky ?? Cx系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為 dzzg yu ??? ? hGIC 1][)( 線性變換 我們知道，系統(tǒng)確定后，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)是確定的，但狀態(tài)變量的選取是非唯一的。選擇不同的狀態(tài)變量，則得到的狀態(tài)空間表達(dá)式也不相同。 由于它們都是同一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，它們之間必然存在某種關(guān)系。這個(gè)關(guān)系就是矩陣中的線性變換關(guān)系。 等價(jià)系統(tǒng)方程 1. 線性定常系統(tǒng) ???????DuCxyBuAxx? （ 1） 為 n 維狀態(tài)向量； 為 r 維輸入向量； 為 m維輸出向量； 、 、 、 為相應(yīng)維數(shù)的矩陣。 x u yA B C D引入非奇異變換矩陣 P, Pxx ? 或者 x
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