【正文】 李氏方法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的一般步驟： 確定系統(tǒng)的平衡狀態(tài)； 選定正定矩陣 Q，一般選 Q = I，則矩陣方程為 G T P G – P) = – I 由此解出 P； 判斷 P的正定性，若 P正定，系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，且 v (x) =x T (k) P x (k) 是這個(gè)系統(tǒng)李氏函數(shù)。 (i) (ii) ??||)(|| kx ??))(( kxV (iii) 當(dāng)時(shí) ， 有 。 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，利用李亞普諾夫判據(jù)不但可以判斷其原點(diǎn)平衡狀態(tài)是否為漸近穩(wěn)定，而且還可以對(duì)其自由運(yùn)動(dòng)趨向原點(diǎn)平衡狀態(tài)的收斂快慢作出估計(jì) 。 注意，如果矩陣 A表示一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，那么 的和總不等于零。 對(duì)于式 ()的系統(tǒng)，選取如下 二次型 Lyapunov函數(shù) ，即 線性定常系統(tǒng)的 Lyapunov穩(wěn)定性分析 0?ex假設(shè) A為非奇異矩陣，則有唯一的平衡狀態(tài) ，其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性很容易通 Lyapunov第二法進(jìn)行研究。0)( ?Fr o t 由向量的旋度為零可得出由 所組成的雅可比矩陣必為對(duì)稱(chēng)矩陣。則平衡狀態(tài)，若隨著eTxxfxfxVx ,)()()( ?????例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 32212211 3xxxxxxx????????試用克拉索夫基法確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的 xe = 0 穩(wěn)定性 . 解： ???????????3221213)(xxxxxxf 0)0( ?f???????????????????????????????222212211131113)(xxfxfxfxfxF??????????????????????2222 3111331113)()()(?xxxFxFxFTT??????????2262226)(?xxF由塞爾維斯特準(zhǔn)則有 061 ????083662226 22222 ???????? xx。 下面主要討論非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的兩種方法 克拉索夫斯基法 變量梯度法 定理 非線性系統(tǒng)方程為 已知系統(tǒng) 平衡狀態(tài)為坐標(biāo)原點(diǎn) xe = 0 ，即 f(xe )=0,且 f(x )對(duì)xi處 是可微的，系統(tǒng)的雅可比矩陣為 )( xfx ??))()( (212221212111nnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxxfxFexxnnnnnnT??????????????????????????????????????????????????則系統(tǒng)在 xe =0處是漸近穩(wěn)定的 充分條件 是：下列矩陣 )()()(? xFxFxF T ??在所有 x下都是負(fù)定的，而且 )()()( xfxfxxxV TT ?? ??是一個(gè)李亞普諾夫（ Lyapunov） 函數(shù)。 ixv?? 在控制問(wèn)題中， 偏導(dǎo)數(shù) 是指 n維空間中的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)某一位置時(shí)沿各個(gè)坐標(biāo)方向的變化率。 注意： 用這種方法不能構(gòu)造出一個(gè)合適的李氏函數(shù)時(shí)，并不意味著平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 對(duì)于 ， ，滿足如下 Lyapunov方程 現(xiàn)對(duì)該定理作以下幾點(diǎn)說(shuō)明： xPxx H PxxTQPAPA T ???(1) 如果系統(tǒng)只包含實(shí)狀態(tài)向量 和實(shí)系統(tǒng)矩陣 A，則Lyapunov函數(shù) 變 為 ，且 Lyapunov方程為 QxxxV H??)(?(2) 如果 沿任一條軌跡不恒等于零， 則 Q可取正半定矩陣。 為了證實(shí)這一點(diǎn)，注意 QxxxV T??)(?由于除原點(diǎn)外 不恒等于零，因此可選上式的 Q。 min? 1)( ?xVQxxT幾何含義為， 為狀態(tài)空間 的超平面上 極小點(diǎn)處的標(biāo)量 值。 )())(( kxkxV ?)())(( kxkxf ?? 0?證明： 設(shè) 結(jié)論 3： 對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng) ()，且設(shè) ，則當(dāng) 收斂，即對(duì)所有 有 0)0( ?f))(( kxf 0)( ?kx)())(( kxkxf ?0?x時(shí)，系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài) 即為大范圍漸近穩(wěn)定。 )()(2221221222211211xxxxxxxxxxxx???????????2221 xxV ??考慮下列二次型函數(shù)是否可以作為一個(gè)可能的 Lyapunov函數(shù)： )1( ?Tss K0 x y 0 x y b b 0 x y b b a a a a b b (a) (c) (b) N(x) r=0 x(t) c(t) G(jω ) N(x) r=0 x(t) c(t) G(jω ) y y1 。 ))(( kxV? ??)( kx ??))(( kxV這樣 負(fù)定。 將 ()代入 ()，得到 tdt exVexVxVtm i n0 m i n )()()(00?? ?? ???() min? 計(jì)算 的關(guān)系式 的解陣 P存在唯一且為正定。 圖 控制系統(tǒng) uKxxxKxxx?????????????????????????????????????????????0010120010321321???[解 ] 容易確定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 在確定 K的穩(wěn)定范圍時(shí)，假設(shè)輸入 u為零。 定理 線性定常系統(tǒng) 在平衡點(diǎn) 處漸近穩(wěn)定的 充要條件是： Axx ?? 0?exQPAPA H ??? 0?Q特別地， 當(dāng) 時(shí)，可取 (正半定 )。 )(xv?5）由 ?V 的線積分求出 ，積分路徑按式（ 444）給出。 )(? xF。 然而在非線性系統(tǒng)中 ， 不是大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的 。是一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)負(fù)定。 ),( txfx ??設(shè)非線性系統(tǒng)方程為 設(shè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是狀態(tài)空間的原點(diǎn)，即 xe=0,若要尋找的李氏函數(shù)為 v(x) = v(x1,x2,… ,xn) nnxxVxxVxxVxv ???????????????