概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-第三章-隨機(jī)向量-資料下載頁(yè)
2025-08-05 08:01本頁(yè)面
【正文】 ， Z是一連續(xù)型隨機(jī)變量。 為求 Z的概率密度，可先求出 Z的分布函數(shù) 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 即首先找出上式右端的積分區(qū)域 Dz。如果求得了FZ(z) ,那么可通過(guò) 求出 Z的概率密度 。 求解過(guò)程中，關(guān)鍵在于將事件 {Z≤z}等價(jià)地轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示的事件 {g(X,Y) ≤z}={(X,Y) },其中 。 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 例 1：設(shè) 且 X與 Y相互 獨(dú)立，求 的概率密度。 由于 X與 Y相互獨(dú)立，于是 (X,Y)的概率密度為 先求 Z的分布函數(shù) FZ(z) 解 ： X和 Y的概率密度分別為 當(dāng) z0時(shí) FZ(z)=0 當(dāng) z≥0時(shí) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 所以 于是可得 的概率密度 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 如果一隨機(jī)變量的概率密度為上式，稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為 ?的瑞利分布。由題可知，若 X,Y獨(dú)立服從同一分布 則 服從參數(shù)為 ?的瑞利分布。 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x,y)，現(xiàn)求 Z=X+Y的概率密度。令 ，則 Z的分布函數(shù)為 (1)和的分布 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 固定 z和 y對(duì)積分 作換元法，令 x+y=u得 于是： 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 由概率密度定義，即得 Z的概率密度為 由 X與 Y的對(duì)稱性，又可得 當(dāng) X與 Y相互獨(dú)立時(shí)，有 其中 分別是 X和 Y的密度函數(shù)。 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 證 ： 由定義， Z=X+Y的概率密度為 當(dāng) z≤0時(shí) fZ(z)=0 證明 ： X+Y服從參數(shù)為 的 分布 例 2：設(shè) X， Y是相互獨(dú)立且分別服從參數(shù) ?1,?和 ? 2, ?的 ?分布，即 X， Y的概率密度分別為 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 當(dāng) z0時(shí) , 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 綜上所述， Z=X+Y的概率密度為 這正是參數(shù)為 的 分布的概率密度。 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 X Y X Y 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 解 : (1)串聯(lián)情況 X Y 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回 (2)并聯(lián)情況 X Y 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回
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