zdpaaa用分離變量法解常微分方程-資料下載頁
2025-08-05 01:06本頁面
【正文】 變量可分離的方程，即 當(dāng)時，令，并代入方程（）可得到分離變量方程。 當(dāng)時，令，其中為新的自變量，為未知函數(shù)，那么方程（）變?yōu)? （）其中，再令，則方程（）變?yōu)槠渲小? 只要將上述變換的過程重復(fù)次，就可把方程（）轉(zhuǎn)變成的情況。即可得到變量可分離方程。 當(dāng)時，求解方法類似的情況。例7 求方程 （）的通解。解 原方程（）變形為所以。故此方程滿足定理1的條件，則可利用變量替換化為變量可分離的方程。令，即，則有，代入（）式并整理可得齊次方程 （）再令，即，代入（）式整理并化簡得分離變量方程兩邊積分把新變量代入上式得方程（）的通解為4應(yīng)用舉例例8 設(shè)有兩種化學(xué)物質(zhì)A和B，而且在反應(yīng)過程中，每克的物質(zhì)B需要2g的物質(zhì)A與之反應(yīng)而生成3g的物質(zhì)C。已知原有的A、B物質(zhì)分別是10g和20g，而且在20分鐘內(nèi)反應(yīng)生成的物質(zhì)C為6g，求在任意時刻物質(zhì)C的質(zhì)量。 解 設(shè)表示時刻所生成物質(zhì)C的總量，則為反應(yīng)速度。根據(jù)題意知，生成g的物質(zhì)C需要g的物質(zhì)A和g的物質(zhì)B。此時物質(zhì)A和物質(zhì)B的剩余量分別為和，那么由題意得，為了簡便計算，令，那么此微分方程變形為 （）分離變量兩邊積分 即，利用初始條件得。又因?yàn)?，所以。把與代入上式，得到這就是此化學(xué)反應(yīng)過程中生成物C質(zhì)量隨時間變化的規(guī)律。據(jù)此式子可以算出第11頁，共11業(yè)
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