圓錐曲線與方程--學習探究診斷(選修1-1)-資料下載頁
2025-08-04 15:07本頁面
【正文】 2)時，拋物線方程為x2＝－8y；當焦點為(4，0)時，拋物線方程為y2＝16x．12．拋物線y2＝8x的頂點為(0，0)，焦點為(2，0)，所以，雙曲線的中心為(0，0)，右焦點為(2，0)，由雙曲線的漸近線為，知可設所求雙曲線方程為，即，由c2＝a2＋b2，得λ＋3λ＝4，解得l＝1，所以，所求雙曲線方程為．13．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線方程2x－y－3＝0，得y＝2x－3，代入拋物線方程y2＝8x，消去y，得4x2－20x＋9＝0，解得，所以，故．14．由題意，設P(x，y)，則，因為P(x，y)是拋物線上任意一點，所以x＝2y，y≥0，代入上式，得，因為y≥0，所以當y＝3時，即當點時，|PA|有最小值．測試九一、選擇題1．B 2．B 3．C 4．B 5．A二、填空題6．，或 7．6 8． 9． 10．三、解答題11．由題意，設拋物線為x2＝2py(p＞0)，因為點Q(－3，m)在拋物線上，所以(－3)2＝2pm，即 ①因為點Q(－3，m)到焦點的距離為5，所以 ②由①②得，解得p＝1或9，所以拋物線的標準方程為x2＝2y，或x2＝18y．12．設A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB中點坐標為(x中，y中)，則，由拋物線定義，知，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝2x中＋2＝8．13．直線AB的方程為，即3x－y－3＝0，因為點P在x2＝y(tǒng)上，所以設P(x，x2)，所以點P到直線AB的距離，因為x∈R，所以當時，故當時，△PAB面積有最小值.14．(1)由拋物線定義，知拋物線的方程為y2＝4x；(2)設C上的動點M的坐標為(x0，y0)，∵，∵x0≥0，∴當m－2＜0時，；當m－2≥0時，；綜上，對于C上的動點M，|BM|的最小值測試十一、選擇題1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 二、填空題6．(1，2) 7．m≥1且m≠5 8．x2－y2＝4 9． 10．三、解答題11．由題意，設橢圓，把直線y＝3x－2代入橢圓方程.得(a2－50)(3x－2)2＋a2x2＝a2(a2－50)，整理得(10a2－450)x2－12(a2－50)x－a4＋54a2－200＝0，設直線與橢圓的兩個交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有，D＝144(a2－50)2－4(10a2－450)(－a4＋54a2－200)＞0，由題意，得，解得a2＝75，所以橢圓方程為.12．(1)設直線l：y＝kx－1或x＝0(舍去)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得(3－k2)x2＋2kx－2＝0．由題意，得3－k2≠0，D＝(2k)2－4(3－k2)(－2)＝24－4k2＞0，且，.．，解得k＝177。1，或．驗證知3－k2≠0且D＞0，∴直線l的方程為：y＝177。x－1，或；(2)由A、B在y軸的同一側(cè)，得解得：∪．13．因為AB∥CD，所以設直線CD方程為y＝x＋t，把y＝x＋t代入y2＝x，消去y，得x2＋(2t－1)x＋t2＝0，設C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以x1＋x2＝1－2t，x1x2＝t2，D＝(2t－1)2－4t2＞0，所以，又AB與CD間的距離為，由正方形ABCD，得|AD|＝|CD|，即，解得t＝－2，或t＝－6，從而，邊長，或5，所以正方形面積為，或．14．(1)判斷：這個觀點是正確的，具體證明如下．設點，其中c2＝a2－b2(c＞0)．方法1：設過F與兩坐標軸都不垂直的直線AB：y＝k(x＋c)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．以下只要證明：對任意的實數(shù)k，∠AMF＝∠BMF．聯(lián)立方程，消去y，得：(b2＋a2k)x2＋2a2k2cx＋a2k2c2－a2b2＝0，D＝(2a2k2c)2－4(b2＋a2k2)(a2k2c2－a2b2)＞0．又∵直線AM的斜率為：，直線BM的斜率為：．，上式中的分子：＝0．∴對任意實數(shù)k都有kAM＋kBM＝0．即kAM＝－kBM，∴∠AMF＝∠BMF．故對過F與兩坐標軸都不垂直的任意弦AB，MF都為△AMB的一條內(nèi)角平分線，所以，點是橢圓的“左特征點”．方法2：如圖，過A作AP垂直左準線于P，過B作BQ垂直左準線于Q，由橢圓第二定義，得，(其中e為橢圓離心率)∴.又∵AP∥BQ∥x軸，∴，∴.∵∠APM＝∠BQM＝90176。，∴△APM∽△BQM．∴∠PAM＝∠QBM．∵∠PAM＝∠AMF，∠QBM＝∠BMF，∴∠AMF＝∠BMF．故對過F與兩坐標軸都不垂直的任意弦AB，MF都為DAMB的一條內(nèi)角平分線，所以，橢圓的左準線與x軸的交點M是橢圓的“左特征點”．(2)雙曲線左特征點定義：設點M在x軸上，若對過雙曲線左焦點F的任一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，且A、B在雙曲線左支上，都有MF為DAMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該雙曲線的“左特征點”．是雙曲線的左特征點(其中)．(注：此題(1)中，沒有提到“橢圓的‘左特征點’一定是點”，即無需證明左特征點的唯一性；(2)答案中，要注意“A、B在雙曲線左支上”不可少)
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