課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)-資料下載頁
2025-08-01 14:10本頁面
【正文】 得 a1= 1 . 當 n= 2 時 , 將 a2= 6 代入 ( n 1 ) an+ 1= ( n+ 1 )( an 1 ), 得 a3= 15 . 同理可得 a4= 28 . 將 a1= 1 , a2= 6 , a3= 15 , a4= 28 分別代入 bn=an+n , 得 b1= 2 , b2= 8 , b3= 18 , b4= 32 , 由此猜想 bn= 2 n2. 要證 bn= 2 n2, 可證 an=bn n= 2 n2 n. 下面用數(shù)學(xué)歸納法 證明 : 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導(dǎo)學(xué) 當堂檢測 ( 1 ) 當 n= 1 時 , a1= 2 12 1 = 1 , 前面已求得 a1= 1 , 所以猜想正確 . ( 2 ) 假設(shè)當 n=k 時 , ak= 2 k2 k ( k ∈ N*) 成立 , 由已知 ( n 1 ) an+ 1= ( n+ 1 )( an 1 ), 得 ( k 1 ) ak+ 1= ( k+ 1 )( ak 1 ), 所以當 n=k + 1 時 , ak+ 1=?? + 1?? 1( ak 1 ) =?? + 1?? 1( 2 k2 k 1 ) =?? + 1?? 1( 2 k+ 1 )( k 1 ) = ( k+ 1 )( 2 k+ 1 ) = 2 ( k+ 1 )2 ( k+ 1 ), 所以當 n=k + 1 時 , an= 2 n2 n 成立 . 由 ( 1 )( 2 ) 可知 , 對一切 n ∈ N*, an= 2 n2 n 都成立 . 所以 { bn} 的通項公式為 bn= 2 n2. 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導(dǎo)學(xué) 當堂檢測 ( 1 ) 由已知條件首先計算數(shù)列 { a n } 的前幾項的值 , 根據(jù)前幾項值的特點 , 猜想出數(shù)列 { a n } 的通項公式或遞推公式 , 利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明是求數(shù)列通項的一種常見的方法 . ( 2 ) 在對猜想得到的結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時 , 要注意從歸納的過程中發(fā)現(xiàn)證明的方法 , 例如活動與探究 4 中求 a 2 , a 3 的過程與方法實際就是證 明的第 ② 步中采用的方法 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導(dǎo)學(xué) 當堂檢測 1 2 3 4 5 1 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 + 2 +… + 2 n+ 1 = ( n+ 1 )( 2 n+ 1 ) 時 , 在驗證 n= 1 成立時 ,左邊所得的代數(shù)式是 ( ) A . 1 B .1 + 3 C .1 + 2 + 3 D .1 + 2 + 3 + 4 答案 : C 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導(dǎo)學(xué) 當堂檢測 1 2 3 4 5 2 . 滿足 1 2 + 2 3 + 3 4 +…+ n ( n+ 1 ) = 3 n2 3 n+ 2 的自然數(shù)等于 ( ) A . 1 B .1 或 2 C .1 , 2 , 3 D .1 , 2 , 3 , 4 答案 : C 解析 : 逐個代入驗證 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 1 2 3 4 5 問題導(dǎo)學(xué) 當堂檢測 3 . 已知 S n =11 3+13 5+15 7+… +1( 2 ?? 1 )( 2 ?? + 1 ), 則S 1 = , S 2 = , S 3 = , S 4 = , 猜想S n = . 答案 :13 25 37 49 ??2 ?? + 1 解析 : 分別將 1 , 2 , 3 , 4 代入觀察猜想 S n =??2 ?? + 1. 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 1 2 3 4 5 問題導(dǎo)學(xué) 當堂檢測 4 . 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 +12+13+… +12?? 1n ( n ∈ N , 且 n 1 ), 第二步證明從“k 到 k+ 1 ” , 左端增加的項數(shù)是 . 答案 : 2k 解析 : 當 n=k 時左端為 1 +12+13+… +12?? 1, 當 n=k + 1 時左端為 1 +12+13+… +12?? 1+12??+12??+ 1+… +12?? + 1 1, 故增加的項數(shù)為 2k項 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 1 2 3 4 5 問題導(dǎo)學(xué) 當堂檢測 5 . 平面內(nèi)有 n ( n ∈ N*, n ≥ 2 ) 條直線 , 其中任何兩條不平行 ,任何三條不過同一點 , 證明交點的個數(shù) f ( n ) =?? ( ?? 1 )2. 證明 : ( 1 ) 當 n= 2 時 ,兩條直線的交點只有一個 . 又 f ( 2 ) =12 2 ( 2 1 ) = 1 , ∴ 當 n= 2 時 , 命題成立 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 1 2 3 4 5 問題導(dǎo)學(xué) 當堂檢測 ( 2 ) 假設(shè) n=k ( k 2 ) 時 , 命題成立 ,即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任 何 k 條直線交點個數(shù) f ( k ) =12k ( k 1 ), 那么 , 當 n=k + 1 時 , 任取一條直線 l , 除 l 以外其他 k 條直線交點個數(shù)為 f ( k ) =12k ( k 1 ), l 與其他 k 條直線交點個數(shù)為 k , 從而 k+ 1 條直線共有 f ( k ) +k 個交點 , 即 f ( k+ 1 ) =f ( k ) +k =12k ( k 1 ) +k =12k ( k 1 + 2 ) =12k ( k+ 1 ) =12( k+ 1 )[( k+ 1 ) 1 ], ∴ 當 n=k + 1 時 , 命題成立 . 由 ( 1 )( 2 ) 可知 , 對 n ∈ N*( n ≥ 2 ) 命題都成立 .
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