【正文】 課前預習導學 KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導學 當堂檢測 ( 2 ) 解 : 取 n= 1 ,11 + 1+11 + 2+13 1 + 1=2624, 令2624??24? a 26 ,且 a ∈ N*, 所以取 a= 25 .下面用數(shù)學歸納法證明 1?? + 1+1?? + 2+… +13 ?? + 12524. ① n= 1 時 , 已證結論正確 . ② 假設 n=k ( k ∈ N*) 時 ,1?? + 1+1?? + 2+… +13 ?? + 12524, 則當 n=k + 1 時 , 有1( ?? + 1 ) + 1+1( ?? + 1 ) + 2+… +13 ?? + 1+13 ?? + 2+13 ?? + 3+13 ( ?? + 1 ) + 1= 1?? + 1+1?? + 2+ … +13 ?? + 1 + 13 ?? + 2 +13 ?? + 3+13 ?? + 4? 1?? + 1 2524+ 13 ?? + 2 +13 ?? + 4? 23 ( ?? + 1 ) . 數(shù)學歸納法 課前預習導學 KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導學 當堂檢測 因為13 ?? + 2+13 ?? + 4=6 ( ?? + 1 )9 ??2+ 18 k + 86 ( ?? + 1 )9 ??2+ 1 8 k + 9=6 ( ?? + 1 )9 ( ?? + 1 )2=23 ( ?? + 1 ), 所以13 ?? + 2+13 ?? + 4?23 ( ?? + 1 ) 0 , 所以1( ?? + 1 ) + 1+1( ?? + 1 ) + 2+… +13 ( ?? + 1 ) + 12524, 即 n=k + 1 時 , 結論也成立 . 由 ①② 可知 , 對一切 n ∈ N*, 都有1?? + 1+1?? + 2+… +13 ?? + 12524. 故 a 的最大值為 25 . 數(shù)學歸納法 課前預習導學 KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導學 當堂檢測 遷移與應用 1 . 用數(shù)學歸納法證明不等式 1 +12+13+… +12?? 1n ( n ∈ N*, 且 n 1 ) 時 ,第一步應驗證不等式 ( ) A . 1 +12 2 B .1 +12+13 2 C .1 +12+13 3 D .1 +12+13+14 3 答案 : B 數(shù)學歸納法 課前預習導學 KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導學 當堂檢測 2 . 用數(shù)學歸納法證明122+132+142+… +1??2 1 1??( n ≥ 2 , n ∈ N*) . 證明 : ( 1 ) 當 n= 2 時 , 左式 =122=14, 右式 = 1 12=12. ∵1412, ∴ 不等式成立 . ( 2 ) 假設 n =k ( k ≥ 2 , k ∈ N*) 時不等式成立 , 即122+132+142+… +1??2 1 1??. 則當 n=k + 1 時 ,122+132+142+… +1??2+1( ?? + 1 )2 1 1??+1( ?? + 1 )2 = 1 ( ?? + 1 )2 k?? ( ?? + 1 )2= 1 ??2+ k + 1?? ( ?? + 1 )2 1 ?? ( ?? + 1 )?? ( ?? + 1 )2= 1 1?? + 1. ∴ 當 n=k + 1 時不等式也成立 . 綜合 ( 1 )( 2 ) 知 , 對任意 n ≥ 2 的正整數(shù) , 不等式均成立 . 數(shù)學歸納法 課前預習導學 KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導學 當堂檢測 運用數(shù)學歸納法證明不等式時 , 在利用了歸納假設后 , 要注意根據(jù)欲證目標 , 靈活地運用比較法、放縮法等技巧來進行證明 ,( 1 ) 中在第 ② 步的證明過程中 ,運用了兩種方法 , 方法 1 是利用了比較法 ,而方法 2 則是利用了放縮法 .在實際證明中要結合不等式的具體情況靈活選用 . 數(shù)學歸納法 課前預習導學 KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導學 當堂檢測 三、用數(shù)學歸納法證明整除問題 活動與探究 1 . 假如 f ( n ) 是多項式和的形式 ,若要證明 f ( n ) 能被某一常數(shù) a 整除 ,必須把 f ( n ) 整理成什么樣的形式 ? 提示 : 要把 f ( n ) 整理成 a 的倍數(shù)形式 , 即能說明 f ( n ) 各項中能提出公因式 a. 2 . 在用數(shù)學歸納法證明整除問題 , 從 n=k 到 n=k + 1 的過程中 ,若n=k + 1 時的左端式很難分離出 n=k 時的所有形式 ,應如何處理 ? 提示 : 應利用添項減項法 . 數(shù)學歸納法 課前預習導學 KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問題導學 當堂檢測 例 3 用數(shù)學歸納法證明 f ( n ) = 3 52 n+ 1+ 23 n+ 1( n ∈ N*) 能被 17整除 . 思路分析 : 在應用歸納假設時通過添項 , 減項方法 , 湊出含有 17 的因數(shù) . 證明 : ( 1 ) 當 n= 1 時 , f ( 1 ) = 3 53+ 24= 391 = 17 23 ,所以 f ( 1 ) 能被 17 整除 . ( 2 ) 假設當 n=k 時 , 命題成 立 , 即 f ( k ) = 3 52 k+ 1+ 23 k+ 1能被 17 整除 , 則 n=k + 1時 , f ( k+ 1 ) = 3 52 k+ 3+ 23 k+ 4= 52 3 52 k+ 1+ 52 23 k+ 1 52 23 k+ 1+ 23 k+ 4= 25 f ( k ) 17 23 k+ 1, 由假設知 , f ( k ) 能被 17 整除 , 且 17 23 k+ 1顯然可被 17 整除 , 故 f ( k+ 1 )能被 17 整除 . 由 ( 1 )( 2 ) 可知 , 對任意正整數(shù) n , f ( n ) 能被 17 整除 . 數(shù)學歸納法 課前預習導學