課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)-文庫(kù)吧資料
2024-08-14 14:10本頁(yè)面
【正文】 條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù) f ( k ) =12k ( k 1 ), 那么 , 當(dāng) n=k + 1 時(shí) , 任取一條直線 l , 除 l 以外其他 k 條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 f ( k ) =12k ( k 1 ), l 與其他 k 條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 k , 從而 k+ 1 條直線共有 f ( k ) +k 個(gè)交點(diǎn) , 即 f ( k+ 1 ) =f ( k ) +k =12k ( k 1 ) +k =12k ( k 1 + 2 ) =12k ( k+ 1 ) =12( k+ 1 )[( k+ 1 ) 1 ], ∴ 當(dāng) n=k + 1 時(shí) , 命題成立 . 由 ( 1 )( 2 ) 可知 , 對(duì) n ∈ N*( n ≥ 2 ) 命題都成立 . 。 ( 2 ) 由 ( 1 ) 猜想數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 , 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想 . 思路分析 : 此題屬探索性問(wèn)題 , 此類問(wèn)題未給出問(wèn)題結(jié)論 , 需要由特殊情況入手 , 猜想、證明一般結(jié)論 .它的解題思路是 : 從給出的條件出發(fā) ,通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、猜想、探索出結(jié)論 , 然后再對(duì)歸納猜想的結(jié)論進(jìn)行證明 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 當(dāng)堂檢測(cè) 解 : ( 1 ) 由 S 1 =a 1 =12 ??1+1??1 , 得 ??12= 1 . 因?yàn)?a n 0 , 所以 a 1 = 1 .S 2 =a 1 +a 2 =12 ??2+1??2 , 得 ??22+ 2 a 2 1 = 0 , 又因?yàn)?a n 0 , 所以 a 2 = 2 1 . S 3 =a 1 +a 2 +a 3 =12 ??3+1??3 , 得 ??32+ 2 2 a 3 1 = 0 , 所以 a 3 = 3 ? 2 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 當(dāng)堂檢測(cè) ( 2 ) 猜想 an= ?? ? ?? 1 ( n ∈ N*) . 數(shù)學(xué)歸納法證明如下 : ① n= 1 時(shí) , a1= 1 ? 0 = 1 , 命題成立 . ② 假設(shè) n=k ( k ∈ N*) 時(shí) , ak= ?? ? ?? 1 成立 , 則 n=k + 1時(shí) , ak+ 1=Sk+ 1 Sk=12 ???? + 1+1???? + 1 ?12 ????+1???? , 即 ak+ 1=12 ???? + 1+1???? + 1 ?12 ?? ?? 1 +1 ?? ?? 1 =12 ???? + 1+1???? + 1 ? ?? , 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 當(dāng)堂檢測(cè) 所以 ???? + 12+ 2 ?? a k+ 1 1 = 0 . 又因?yàn)?a n 0 , 所以 a k+ 1 = ?? + 1 ? ?? , 即 n=k + 1 時(shí) , 命題成立 . 由 ①② 知 , 對(duì) n ∈ N*, a n = ?? ? ?? 1 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 當(dāng)堂檢測(cè) 遷移與應(yīng)用 1 . 數(shù)列 { an} 中 , a1= 1 , 且 Sn, Sn+ 1, 2 S1成等差數(shù)列 ,寫出 S2, S3, S4, 由此猜想Sn= . 答案 :2?? 12?? 1 解析 : 由已知得 2 Sn+ 1=Sn+ 2 S1, 當(dāng) n= 1 時(shí) , 2 S2=S1+ 2 S1,∴ S2=32。 ak+ 1+ ( a+ 1 )2 ( 3 )1?? + 1+1?? + 2+1?? + 3 3?? + 3( x 0 ) . 提示 : ( 1 ) | x | ( 2 ) 1 ( 3 ) 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 當(dāng)堂檢測(cè) 例 2 ( 1 ) 用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 +1 2+1 3+… +1 ?? ?? ( 其中n ∈ N*, n 1 ) . ( 2 ) 若不等式1?? + 1+1?? + 2+1?? + 3+… +13 ?? + 1??24對(duì)一切正整數(shù) n 都成立 ,求正整數(shù) a 的最大值 , 并證明你的結(jié)論 . 思路分析 : ( 1 ) 按照數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法與步驟進(jìn)行證明 , 在由 n=k 證 n =k + 1 成立時(shí) ,可利用比較法或放縮法證得結(jié)論 . ( 2 ) 先從特例入手探求正整數(shù) a 的最大值 ,再用歸納法證明 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 當(dāng)堂檢測(cè) ( 1 ) 證明 : ① 當(dāng) n= 2 時(shí) ,左邊 = 1 +1 2, 右邊 = 2 , 1 +1 2 ? 2 = 1 22 0 ,所以左邊 右邊 , 即不等式成立 . ② 假設(shè)當(dāng) n=k ( k ≥ 2 , k ∈ N*) 時(shí) , 不等式成立 , 即 1 +1 2+1 3+… +1 ?? ?? , 則當(dāng) n=k + 1 時(shí) , 1 +1 2+1 3+… +1 ??+1 ?? + 1 ?? +1 ?? + 1 . 數(shù)學(xué)歸納法 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) KEQIAN YUXI DAOXUE 課堂合作探究 KETANG HEZUO TANJIU 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 當(dāng)堂檢測(cè) 方法一 : 由于 ?? +1 ?? + 1 ? ?? + 1 = ??2+ k + 1 ( k + 1 ) ?? + 1= ??2+ k k ?? + 1=?? ?? + 1 ( ??2+ k + k ) 0 , 所以 ?? +1 ?? + 1 ?? + 1 , 即 1 +1 2+1 3+… +1 ??+1 ?? + 1 ?? + 1 . 方法二 : 由于 ?? +1 ?? + 1= ??2+ k + 1 ?? + 1 ??2+ 1 ?? + 1=?? + 1 ?? + 1= ?? + 1 , 所以 1 +1 2+1 3+… +1 ??+1 ?? + 1 ?? + 1 . 即當(dāng) n=k + 1 時(shí)原不等式也成立 , 由 ①② 知原不等式成立 . 數(shù)學(xué)歸納法
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