第七章參數(shù)估計-資料下載頁
2025-08-01 12:47本頁面
【正文】 ?故 是 的 無 偏 估 計? ?11 n iiE X E Xn???? ?????2211 ()1 n iiS X Xn???? ?? ?2211 ()1 n iiE S E X Xn???????????? ? 2211 ()1 n iiE X n Xn ?????? ? ? ???? ???? ?2 2 21 1 nn ? ? ?? ? ??22S ?故 是 的 無 偏 估 計? ?11 n iiEXn?? ? 1 nn ??? ? ?? ? 211 ()1 n iiE X Xn ???????? ? ? ?????? ???? ? ? ?11 1 n iiD X n D Xn???????? ???? ??7 5 2例 ： 檢 驗 例 的 矩 估 計 量 與 極 大 似 然 估 計 量 的 無 偏 性 。???? M L E nXX ? ? ? ? 0 , , ,2X U E X ????解： 1 , nX X X由于 與 同分布? ? ? ?? 2E E X???? ?12 niiEXn?? ?22nn? ?? ? ? ?? 2 X???因 此 是 的 無 偏 估 計? ??7 5 2例 ： 檢 驗 例 的 矩 估 計 量 與 極 大 似 然 估 計 量 的 無 偏 性 。???? M L E nXX ? ? ? ?ME? L nnXX? ?為 考 察 的 無 偏 性 ， 先 求 的 分 布 ，5由第三章第 節(jié)知：? ? ? ? ? ? ,nnXF x F x? ????? ?? ?1 0 0 nnnXnx xfx???????? ???于是 其它10nnx n x dx????? ?? ? ? ?? ??M LE nE E X? ?因 此 有 ：1nn ?????? ??M L E nX? ?所 以 是 有 偏 的 。 糾偏方法 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?1?, , , 01 ?17,?,?nnnnE a b a b abanX X XnXX? ? ?????????? ? ? ? ????如 果 其 中 是 常 數(shù) ， 且則 是 的 無 偏 估 計 。在 例 中 ， 取 則 是 的 無 偏 估 計 無 偏 性 是 對 估 計 量 的 一 個 最 常 見 的 重 要 要 求 ，是 “ 好 ” 估 計 的 標(biāo) 準(zhǔn) 之 一 。 無 偏 性 的 統(tǒng) 計 意 義 是 指 在 大 量 重 復(fù) 試 驗 下 ，由 所 作 的 估 計 值 的 平 均 恰 是 ，從 而 無 偏 性 保 證 了 沒 有 系 統(tǒng) 誤 差 。 有效性 ? ? ? ?121212,DD? ? ?? ? ????? ? ???設(shè) 是 的 兩 個 估 計 ， 如 果 對 一 切 成 立 ， 且 至 少 對 于 某 一 個 上 式 中 的 不 等 號 成 立 ， 則 稱 比無 偏定 義 ：有 效 。? ?? ?11 2 1 28 0 , , , ,12 , 7 2(n)例 ： 設(shè) 總 體 是 取 自 的 樣 本 ， 已 知 的 兩 個 無 偏 估 計 為 見 例 ， 判 別 與 哪 個 有 效 時 ？??? ? ? ??? ? ?????nX U X X XnX X nn ? ? ? ? 221 42 1 2 3D D X nn??? ? ? ? ?解 ：? ?? ?1 0 0 nnnXnx xfx???????? ???由 其它? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?2 222 2 1 nnnD E X E Xn? ? ???? ??于 是? ? ? ? ? ?221 2 2 1 3 2DD n nn??? ? ? ?? ? ? ??因 為 比 更 有 效? ?? ?1220 2nn nn x nE X d x n? ?? ?? ? ? ??? ?22nn???相合性 ? ?? ?1,0 , 0nnnnnXXnl i m P???? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?設(shè) 為參數(shù) 的估計量， 若對于任意 ，當(dāng) 時， 依概率收斂于 ， 定義：則稱 為 即的相有： 成立， 合估計量或一 致估計量一 般 用 Chebyshev 不 等 式 或 大 數(shù) 律 驗 證 ，有 時 還 結(jié) 合 依 概 率 收 斂 的 性 質(zhì) 。 1112 2 2219 ( ) ( 2 ) , , , ( 1 ) ( )12 , 2 , .. ., , 2 , .. .,13 ( ) , ( )kknnll i liniiX k E X k X X XX E XA X l k l knB X X S D XnS??????????? ? ?? ? ???例 ： 設(shè) 總 體 的 階 矩 存 在 是 取 自 的 樣 本 ， 證 明 ： 是 的 相 合 估 計 ；（ ） 是 的 相 合 估 計 ；（ ） 是 的 相 合 估 計 ；(4) 是 的 相 合 估 計 。11 ( ) , 1 , 2 , . . . , .( 1 ) 2nlliliX E X l kn ?????證 明 ： 由 辛 欽 大 數(shù) 定 律 知 ， 依 概 率 收 斂 到因 此 ， （ ） 成 立 。111 1 1 , . . . , , . . . ,( , . . . , ) ( , . . . , ) ( , . . . , )kkk k kAAg g A A g??? ? ? ?根 據(jù) 依 概 率 收 斂 的 性 質(zhì) ， 由 是 的 相 合 估 計 ，若 是 連 續(xù) 函 數(shù) ， 則 是 的 相 合 估 計 。2 2 2 2 22 1 2 212 2 2 221( ) ( )1niiD X B X X A XnnS B S S Sn? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?????因 為 ， 所 以 是 的 相 合 估 計 ，注 意 到 ， 因 此 也 是 的 相 合 估 計 ； 是 的 相 合 估 計 。? ? ? ?12 ,EE? ? ???證： ? ?? ?1120 , , , ,1 2例 10 ： 設(shè) 總 體 是 取 自 的 樣 本 ， 證 明 ： 和 是 的 相 合 估 計 。?? ? ?????nnX U X X XnXXn0, n?? ? ? ? ?由 契 比 雪 夫 不 等 式 ， 當(dāng) 時 ，? ? ? ?11 2DP ?? ? ? ?? ? ?有： 2 2 03 n??? ?12? ? ?所以 和 都是 的相合估計。? ? 21 ,3D n?? ? ? ? ? ?22 2D nn?? ? ?? ? ? ?22 2DP ?? ? ? ?? ? ?同理： ? ?2 22 0nn??? ? ?2022/8/17 課件待續(xù) !
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