第七章參數(shù)估計-wenkub
2022-08-29 12:47:12 本頁面
【正文】 估 計 總 體 分 布 所 包 含 的 未 知 參 數(shù) 的 值 。 點 估 計 的 問 題 就 是 根 據(jù) 樣 本 ，對 每 一 個 未 知 參 數(shù) ， 構(gòu) 造 出 一 個 統(tǒng) 計 量， 作 為 參 數(shù) 的 估 計 ， 稱 為。 , , , , , , , , , 1 , 2 , , , , , . , , , ,( , , , ) , 1 , 2 , , . ( * ), , , ,kkvvkkki i knkX F xE X v kikXXEXXXXk? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??v 設(shè) 總 體 的 分 布 函 數(shù) 為 是 待估 計 的 未 知 參 數(shù) ， ，則 有 ： 這 是 一 個 包 含 k 個未 知 參 數(shù) 的 聯(lián) 立 方 程 組 從假 定 總 體 的 階 原中 解 出點對 于 樣 本矩得存 在1121 1 , 2 , , .( * ) , 1 , 2( , , , ) , 1 , 2 , , , , , 1 , 2 , , .iiknvviiiiiA A A iv A X v knA i kikk????????????其 樣 本 階 ( 原 點 ) 矩 是 ：以 分 別 代 替 中 的 就 以分 別 作 為 的 矩 法 估 計 量:具 體 如 下? ?121 0 , , , , ,nXX X X X? ? ? ? ????222例 ： 設(shè) 總 體 的 均 值 和 方 差 都 存 在 ， 且 ， 均 未 知 ，是 取 自 的 一 個 樣 本 ， 試 求 的 矩 估 計 。 121( 1 ) ( )111 ( ) 1 ( )解 ：??????? ???? ? ???? ? ? ? ? ?XP X P12211 11 ( ) 1 ( )1()所 以 P(X1)?? ?? ? ? ? ? ???niiA XBXXn（ 2 ） 若 抽 取 了 容 量 為 6 的 樣 本 ， 樣 本 觀 察 值 為 （ 2 ， 5,1,0),P(X1) 的 矩 估 計 值 。 ) P { X x }一 般 地 ， 設(shè) 離 散 型 總 體 ， ， 未 知 。 ) ,則 事 件 發(fā) 生 的 概 率 為 ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ??nnnnnniiX x X xP X x X xf x f x f x1?( ( , , ) ) m a x ( ) .nL x x L??? ???最 大 似 然 原 理 ：似 然函 數(shù)11? ,? ,nnxxXX????稱 （ ） 為 的 ，相 應(yīng) 統(tǒng) 計 量 （ ） 為 最最 大 似 然 估大 似 然計的值估 計 量 。 , , , , 。 221? 的 最 大 似 然 估 計 量 為 ： ???????????M L E niinln X? ? ? ? 2111 1 1,0 。 = , , , , , 。?? ?? ? ? ?????? ???????xnexX f xX X X ? ? 1 矩估計解：? ? ? ?1 E X x f x d x? ?????? ?? ? ? ?222 1 xE X x e d x???? ??? ???? ?1222121 , 1B ( ) ,niiAXXXn??? ? ??? ?? ????? ?????? ?從 而 而? ?2 DX? ?2121??1 (), 1 ()niiniiXXnX X Xn????????????? ? ? ?????的 矩 估 計 量 為????? ?1 xx e d x??? ??? ??? ?? ?2 2 xx e d x????? ??? ???? ? 2222? ?? ?? ? ?? ? ? ?2 2 2E X E X ?? ? ?? ? 2 極大似然估計? ? ? ?11, in xiLe ???? ? ???? ??此 處 不 能 通 過 求 偏 導(dǎo) 數(shù) 獲 得 的 極 大 似 然 估 計 量 ，? ?? ?? ?21l n , 10l n ,0niiL nxL n????? ????????? ? ? ???????? ? ? ?? ???無 解那 么 對 數(shù) 似 然 方 程 為－? ? ? ?111l n , l n1 l n , 0, , 1 , 2 , 。 ? ?1 極解 ： 大 似 然 估 計 ? ?1 0。 解 : (一 )矩估計 X p 0 1 2 ? 1 ?????0 , 0 , 1 , , .? ? ? ? ? ?? ? ? ? 為 未 知 參 數(shù),??712144,.3 1 7 3112 2 4 8????? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???所 以 的 矩 估 計 值 為2 2 2 2( ) 0 1 2 ( 1 )1( ) 0 1 2 ( 1 )2EXEX? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ???由 于 ,1212.311 222? ? ?? ? ?????? ? ? ???所 以21112niiAXAXn ?? ???????而 對 應(yīng) 的 樣 本 矩 為 ,821117 .84iixx?? ??? ??? ?其 觀 察 值 為(二 )極大似然估計 (最大似然估計 ) l n L ( , ) =3l n +2l n +3l n ( 1 ) , 0 , 0 , 1.l n L ( , ) 2 301l n L ( , ) 3 30114,.38? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ????? ? ?? ? ? ???????????對 數(shù) 似 然 函 數(shù) 為所 以 對 數(shù) 似 然 方 程 為由 于 ,解 得 的 極 大 似 然 估 計 值 為1 1 n 1 83 2 318 L ( , ) =P ( X = , , X = ) =P ( X =0, , X =2)=P ( X =0) ( X =2) = ( 1 ) , 0 , 0 , 1.nxxP??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?似 然 函 數(shù) 為極大似然估計的不變原則
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