【正文】 ma : 根據(jù)引理 ： () )1(1)1()(1 ?????? ? kDCkBkPA T??111111 )()1( ?????? ???? DACBDABAAkP? ? )()1()1()()1(1)1()()( 1 kPkkkPkkkPkP TT ??????? ? ????? ??????????????????)1()()1()()1()1(?kykYkkkPk T ????? ?)1()1()()()1( ?????? kykkYkkP T ?Chapter 3 System Identification and Parameter Estimation 第三章 系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì) 29 Take () in to above expression: 將 ()式代入上式得： Simplify the expression in the big bracket in above expression 上式大括號(hào)中的兩項(xiàng)可以簡(jiǎn)化為： () （ ） and () are the recursive formula of RLSE. （ ）與 ()就是最小二乘估計(jì)的遞推公式。 ? ?? ?? ?)1()1()()1()1()()1(1)1()()1()1()( )()()()1()1()()1(1)1()()()()()1( 11????????????????????????kykkPkkkPkkkPkykkPkYkkPkkkPkkkPkYkkPkTTTTTT???????????? ?? ?? ? ? ?? ? )1()1()()1(1)1()()1()1()()1()1()()1(1)1()()1(1)1()()1()1()()1()1()()1(11)1()(111?????????????????????????????kykkPkkkPkykkPkkkPkkkPkkkPkykkPkkkPkkkPTTTTTT???????????????? ? ?????? ?????????? ? ^1^^ )()1()1()1()()1(1)1()()()1( kkkykkPkkkPkk TT ???????Chapter 3 System Identification and Parameter Estimation 第三章 系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì) 30 Estimation at time k+1 is equal to the estimation at time k plus a revised quantity. The revised quantity is consisted of three parts: 容易看出， k＋ 1時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值 等于 k 時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值 加上一個(gè)修正量。該修正量包括三個(gè)部分（乘積） ： ? Part One: Error of Prediction 第一部分：預(yù)報(bào)誤差 是 k＋ 1時(shí)刻新接收到輸出值（實(shí)測(cè)值）， 與 的乘積則表示用 k 時(shí)刻得到的參數(shù)預(yù)報(bào)出的 k＋ 1時(shí)刻的輸出（模型值）。如果預(yù)報(bào)與實(shí)測(cè)相等，說明 k 時(shí)刻所估計(jì)的參數(shù)就是參數(shù)的真值，不用再做修正，即表現(xiàn)為（ ）式最后一項(xiàng)為 0，即 )1( ?? k?)1( ?? k?)(k??)(k??^ )()1()1( kkky T ?? ???)1( ?ky )(k?? )1( ?kT?)()1( ^^ kk ?? ??Chapter 3 System Identification and Parameter Estimation 第三章 系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì) 31 ? Part Two: Gain Factor 第二部分：增益因子 （ ） 注意，它是一個(gè)標(biāo)量，因此省掉了費(fèi)時(shí)的矩陣求逆運(yùn)算，計(jì)算效率大大提高。增益因子與預(yù)報(bào)誤差的乘積確定出有多少輸出誤差需要經(jīng)過修正參數(shù)來實(shí)現(xiàn)，至于哪一個(gè)參數(shù)調(diào)整多少需有第三部分， 即加權(quán)系數(shù)來決定。 ? Part Three: Weighing Coefficient 第三部分：加權(quán)系數(shù) is called the covariance matrix of estimation , which is associated with covariance of , and is a measure of estimating accuracy. 的物理意義：與參數(shù)估計(jì)值 的協(xié)方差存在著聯(lián)系，是參數(shù)估計(jì)精確程度的一種度量，通常稱 為參數(shù)估計(jì) 的協(xié)方差陣。 ? ? 1)1()()1(1)1( ?????? kkPkkg T ??)1()( ?kkP ?)(kP)(k??)(kP)(k??)(k??)(k??)(kPChapter 3 System Identification and Parameter Estimation 第三章 系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì) 32 當(dāng) k 趨向于無窮時(shí)， 趨向于 0。 In fact, the value of will be very small after estimating less than a hundred periods if an estimation algorithm has good convergence. 事實(shí)上，如果算法有良好的收斂性，遞推估計(jì)幾十步之后， 的值已很小了 （注意： 每一時(shí)刻都要更新）。 是一個(gè)方陣（ 2n+1 維，同參數(shù)個(gè)數(shù)），而 則是 2n+1 維的列向量，與參數(shù)個(gè)數(shù)一致，表示給每個(gè)參數(shù)的調(diào)整加一定的權(quán)（每個(gè)參數(shù)每次調(diào)整的權(quán)不一定相同）。 12 )(? ???? TC o v ??2^)(??CovkP ?)(kP)(kP)(kP)(kP)(kP )1()( ?kkP ?Chapter 3 System Identification and Parameter Estimation 第三章 系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì) 33 綜上所述，遞推最小二乘估計(jì)公式的物理意義就是： Based on previous parameter estimation and new sample data, continuous recursive calculating can be implemented by the prediction error times weighing factor with different extent to every parameter. Parameter estimation will be available if a converged algorithm is used. 根據(jù)最新得到的數(shù)據(jù)，在原有參數(shù)估計(jì)值的基礎(chǔ)上，對(duì)預(yù)報(bào)誤差乘上加權(quán)增益因子，不同程度的修正每個(gè)參數(shù)，這樣不斷的遞推更新，只要算法是收斂的，就一定能得到合乎要求的估計(jì)參數(shù)。 遞推最小二乘估計(jì)的公式可整理為： )()()1()1()()1()()1()()()1()1()1()()1()()1()()1()()1(11)1(^^^kPkkkPkgkPkPkkkykkPkgkkkkPkkgTTT???????????? ??????????????????????Chapter 3 System Identification and Parameter Estimation 第三章 系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì) 34 Recursive Calculation of RLSE 遞推計(jì)算過程 1. Form the data vector 由 k+1 時(shí)刻的觀測(cè)值 以及前 2n個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)值形成向量 （數(shù)據(jù)向量， 2n+1維，與參數(shù)個(gè)數(shù)一致） 2. Calculating from () 由（ ）式，用 及 計(jì)算 3. Calculating from () 由（ ）式計(jì)算 4. Calculating from () 由（ ）式計(jì)算協(xié)方差矩陣 ，為下一步遞推計(jì)算作準(zhǔn)備。 5. Return to step 1 and continue until parameter estimation is converged. 回到第一步，直到參數(shù)收斂 )1( ?k?)1(,)1( ?? kyku )1( ?k?)1( ?kg)1( ?k? )(kP )1( ?kg)1(? ?k?)1(? ?k?)1( ?kP)1( ?kPChapter 3 System Identification and Parameter Estimation 第三章 系統(tǒng)辨識(shí)與參數(shù)估計(jì) 35 How to choice the initial value of , for recursive calculation. 遞推初值的選擇 1. From the initial N couples