20xx屆二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)文題7推理與證明、復(fù)數(shù)與算法初步-數(shù)學(xué)-新課標(biāo)江蘇省專版69張ppt)-資料下載頁
2025-04-21 20:28本頁面
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【正文】 ， p － r ≥ 2 ， 所以 ( * ) 式左邊為偶數(shù) ， 右邊為奇數(shù) ， 故數(shù)列 { b n } 中不存在不同的三項(xiàng) b p ， b q ， b r ( p ， q ， r ∈ N*)恰好成等差數(shù)列 ． 第 15 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【點(diǎn)評】 “ 特殊性存在于一般性之中 ” 這個哲學(xué)原理道出了演繹推理的實(shí)質(zhì) ； 其實(shí) ， 我們學(xué)習(xí)的演繹推理實(shí)際上就是從一般性的原理出發(fā) ， 推出某個特殊情況下的結(jié)論 ． 顯然 ， 只要一般性原理正確 ， 推理形式不出錯誤 ， 那么由此產(chǎn)生的結(jié)論一定正確 ； 這也正是我們證明數(shù)學(xué)結(jié)論 、 建立數(shù)學(xué)體系的重要的思維過程 ． 已知數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和為 S n ， 且滿足 a n ＋ S n＝ 2. ( 1 ) 求 { a n } 的通項(xiàng) a n ； ( 2 ) 求證數(shù)列 { a n } 中不存在任意三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列 ； ( 3 ) 若從數(shù)列 { a n } 中依次抽取一個無限多項(xiàng)的等比數(shù)列 ， 使它的所有項(xiàng)之和 S 滿足461 S 113， 這樣的等比數(shù)列有多少個 ？ 第 15 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) 當(dāng) n ＝ 1 時， a1＋ S1＝ 2 a1＝ 2 ，則 a1＝ 1. 又 an＋ Sn＝ 2 ， ∴ an ＋ 1＋ Sn ＋ 1＝ 2 ，兩式相減得 an ＋ 1＝12an， ∴ { an} 是首項(xiàng)為 1 ，公比為12的等比數(shù)列， ∴ an＝12n － 1 . (2) 反證法：假設(shè)存在三項(xiàng)按原來順序成等差數(shù)列，記為 ap＋ 1 ， a q ＋ 1 ， a r ＋ 1 ( p q r ) ， 則 212q ＝12p ＋12r ， ∴ 2 2r － q＝ 2r － p＋ 1 (*) ，又 ∵ p q r ， ∴ r － q ，r － p ∈ N*， ∴ * 式左邊是偶數(shù)，右邊是奇數(shù)，等式不成立， ∴ 假設(shè)不成立，原命題得證． 第 15 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (3) 設(shè)抽取的等比數(shù)列首項(xiàng)為12m ，公比為12n ，項(xiàng)數(shù)為 k ， 且滿足 m ， n ， k ∈ N ， m ≥ 0 ， n ≥ 1 ， k ≥ 1 ， 則 S ＝12m1 －12n??????1 －??????12nk12m1 －12n，又 ∵461 S 113， ∴12m1 －12n461，整理得 2m－ 2m － n614① . 第 15 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ∵ n ≥ 1 ， ∴ 2m － n≤ 2m － 1， ∴ 2m － 1≤ 2m－ 2m － n614， ∴ m ≤ 4 ， ∵ S 113， ∴12m 113， ∴ m ≥ 4 ， ∴ m ＝ 4 ， 將 m ＝ 4 代入 ① 式整理得 2n643， ∴ n ≤ 4. 經(jīng)驗(yàn)證得 n ＝ 1 , 2 不滿足題意 ， n ＝ 3 , 4 滿足題意 ． 綜上可得滿足題意的等比數(shù)列有兩個 ． 第 15 講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 15 講 │ 規(guī)律技巧提煉 規(guī)律技巧提煉 1 ． 實(shí)際證題過程中 ， 分析法與綜合法往往是結(jié)合起來運(yùn)用的 ， 把分析法和綜合法孤立起來運(yùn)用是比較少的 ． 問題僅在于 ， 在構(gòu)建命題的證明路徑時 ， 有時分析法居主導(dǎo)地位 ， 綜合法伴隨著它 ； 有時卻剛好相反 ， 綜合法居主導(dǎo)地位 ， 而分析法伴隨著它 ． 特別地 ， 對于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題 ， 不論是從“ 已知 ” 推向 “ 未知 ” ， 或者是由 “ 未知 ” 靠攏 “ 已知 ” ， 都有一個比較長的過程 ， 單靠分析法或綜合法顯得較為困難 ． 第 15 講 │ 規(guī)律技巧提煉 為保證探索方向準(zhǔn)確及過程快捷，人們又常常把分析法與綜合法兩者并列起來使用，即常采取同時從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個中間目標(biāo)．從已知到中間目標(biāo)運(yùn)用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標(biāo)運(yùn)用分析法思索，以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效路徑．上面所言的思維模式可概括為圖 7 － 1 5 － 3. 第 15 講 │ 規(guī)律技巧提煉 綜合法與分析法是邏輯推理的思維方法，它對于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性極為有用．把分析法與綜合法兩者并列起來進(jìn)行思考，尋求問題的解答途徑方式，就是人們通常所說的分析、綜合法． 2 ．有些問題當(dāng)從正面求解繁瑣或無法求解時，可從其反面進(jìn)行思考，通過否定結(jié)論的反面來肯定結(jié)論正確，這就是 “ 正難則反 ” 的思想．運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想解決問題，往往能收到化難為易、化繁為簡的奇效．反證法就是 “ 正難則反 ” 的一種證明方法，它不是直接證明命題結(jié)論正確，而是通過證明結(jié)論反面不正確來說明結(jié)論的正確性．因而對于那些 “ 結(jié)論的反面 ”比結(jié)論本身更具體、更明確、 更簡單的命題，則適宜用反證法來證． 3 ．用反證法證題推出矛盾主要有下列情形： ① 與已知條件矛盾； ② 與公理、定理、定義及性質(zhì)矛盾； ③ 與假設(shè)矛盾； ④推出自相矛盾的結(jié)論．宜用反證法證明的題型： ① 易導(dǎo)出與已知矛盾的命題； ② 否定性命題； ③ 唯一性命題； ④ 至少至多型命題； ⑤ 一些基本定理； ⑥ 必然性命題等． 4 ．推理證明問題的解決一般有下面三個切入點(diǎn)： ① 特殊到一般 由特殊到一般，再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識的過程是人們認(rèn)識世界的基本過程之一．對數(shù)學(xué)而言，這種由特殊到一般，再由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識的過程，就是數(shù)學(xué)研究的特殊與一般的思想．在高考中， 會有意設(shè)計一些能集中體現(xiàn)特殊與一般的思想的試題． 第 15 講 │ 規(guī)律技巧提煉 ② 歸納演繹 歸納推理思想就是在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結(jié)論．這一數(shù)學(xué)思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題時有著廣泛的應(yīng)用．其思維模式是 “ 觀察 —— 歸納 —— 猜想 —— 證明 ” ，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納． ③ 類比聯(lián)想 所謂類比就是根據(jù)兩個對象之間一部分屬性相同或相似，從而推斷出這兩個對象之間的另外一些屬性也可能相同或相似的一種思維形式． 第 15 講 │ 規(guī)律技巧提煉 第 15 講 │ 課本挖掘提升 課本挖掘提升 例題 蘇教版選修 2 － 2P 91 第 8 題 觀察 右 面的三角形數(shù)表． 假設(shè)第 n 行的第二個數(shù)為 a n ( n ≥ 2 ， n∈ N*) ． (1) 依次寫出第六行的所有 6 個數(shù)字； (2) 歸納出 a n ＋ 1 與 a n 的關(guān)系式并求出 a n的通項(xiàng)公式； (3) 設(shè) a n b n ＝ 1 ，求證： b 2 ＋ b 3 ＋ ? ＋ b n 2 . 第 15 講 │ 課本挖掘提升 【解答】 ( 1 ) 第六行的所有 6 個數(shù)字分別是6 , 16 , 25 , 25 , 16 , 6 ； ( 2 ) 依題意 an ＋ 1＝ an＋ n ( n ≥ 2 ) ， a2＝ 2 ， an＝ a2＋ ( a3－ a2) ＋ ( a4－ a3) ＋ ? ＋ ( an－ an － 1) ＝ 2 ＋2 ＋ 3 ＋ ? ＋ ( n － 1 ) ＝ 2 ＋? n － 2 ?? n ＋ 1 ?2， 所以 an＝12n2－12n ＋ 1 ( n ≥ 2 ) ； ( 3 ) 因?yàn)?a n b n ＝ 1 ，所以 b n ＝2n2－ n ＋ 22n2－ n＝ 2????????1n － 1－1n. ∴ b 2 ＋ b 3 ＋ b 4 ＋ ? ＋ b n 211－12＋12－13＋ ? ＋1n － 1－1n＝2??????1 －1n2. 【點(diǎn)評】 本題主要考查探索能力 、 類比歸納能力 ， 通過抓住問題的實(shí)質(zhì) ， 探討共同的屬性 ， 可以由特殊型命題直接歸納概括出一般型命題 ． 第 15 講 │ 課本挖掘提升
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