算法、框圖、復(fù)數(shù)、推理與證明11-3推理與證明-資料下載頁
2025-05-14 03:42本頁面
【正文】 40176。 ＋ sin10176。 c os40176。 ＝34； ② sin26176。 ＋ c os236176。 ＋ sin6 176。 c os36176。 ＝34. 由上面兩題的結(jié)構(gòu)規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想． [ 解析 ] 觀察 4 0176。 － 10176。 ＝ 30176。 ， 36176。 － 6176。 ＝ 30176。 ，由此猜想：sin2α ＋ c os2( 30176。 ＋ α ) ＋ sin α c os( 30176。 ＋ α ) ＝34. 證明： sin2α ＋ c os2( 30176。 ＋ α ) ＋ sin α c os( 30176。 ＋ α ) ＝1 － c os2 α2＋1 ＋ c os ( 60176。 ＋ 2 α )2＋12[ sin(30176。 ＋ 2 α ) －sin30176。 ] ＝ 1 ＋12[ c os( 60176。 ＋ 2 α ) － c os2 α ] ＋12sin(30176。 ＋ 2 α ) －12＝ 1＋12[ － 2sin(30176。 ＋ 2 α ) sin30176。 ] ＋12 ??????sin ( 30176。 ＋ 2 α ) －12 ＝34－12sin(30176。 ＋ 2 α ) ＋12( sin30176。 ＋ 2 α ) ＝34. ? 6． (2021山東日照市模擬 )已知數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，且 (a－ 1)Sn＝ a(an－1)(a0)(n∈ N*)． ? (1)求證數(shù)列 {an}是等比數(shù)列，并求 an； ? (2)已知集合 A＝ {x|x2＋ a≤(a＋ 1)x}，問是否存在實數(shù) a，使得對于任意的 n∈ N*，都有Sn∈ A？若存在，求出 a的取值范圍；若不存在，說明理由． ? [解析 ] (1)當(dāng) n＝ 1時， (a－ 1)S1＝ a(a1－ 1)， ? ∴ a1＝ a(a0) ? n≥2時，由 (a－ 1)Sn＝ a(an－ 1)(a0)得， ? (a－ 1)Sn－ 1＝ a(an－ 1－ 1) ? 故 {an}是以 a1＝ a為首項，公比為 a的等比數(shù)列， ? ∴ an＝ an. ? (2)① 當(dāng) a＝ 1時， A＝ {1}， Sn＝ n，只有 n＝ 1時 Sn∈ A， ? ∴ a＝ 1不適合題意． ? ② a1時， A＝ {x|1≤x≤a}， S2＝ a＋ a2a，∴ S2?A， ? 即當(dāng) a1時，不存在滿足條件的實數(shù) a. 兩式相減得， ( a － 1) a n ＝ a ( a n － a n － 1 ) ， 變形得，a na n － 1＝ a ( n ≥ 2) ? ③ 當(dāng) 0a1時， A＝ {x|a≤x≤1}， 而 Sn＝ a ＋ a2＋ ? ＋ an＝a1 － a(1 － an) ∈ [ a ，a1 － a) 因此對任意的 n ∈ N*，要使 Sn∈ A ， 只需????? 0 a 1a1 － a≤ 1，解得 0 a ≤12， 綜上得實數(shù) a 的取值范圍是 (0 ，12] ． ? (1)求曲線 E的方程． ? (2)試問點 A是否恒在一條直線上？證明你的結(jié)論； ? (3)若直線 AG平分 ∠ MAC，求直線 MN的方程． 7 ． ( 2021 福建莆田市質(zhì)檢 ) 已知點 B ( － 1,0) 、 C ( 1,0) ，平面上的動點 P 滿足 |CP→| | BC→|＝ BP→BC→，記動點 P 的軌跡為曲線 E . 過點 C 作直線交曲線 C 于兩點 M 、 N ， G 為線段MN 的中點，過點 G 作 x 軸的平行線與曲線 E 在點 M 處的切線交于點 A . [ 解析 ] ( 1) 設(shè)動點 P ( x ， y ) ，由 |CP→| |BC→|＝ BP→BC→得，2 ( x － 1 )2＋ y2＝ ( x ＋ 1 ， y ) ( 2,0) 整理得 y2＝ 4 x ，所以曲線 E 的方程為 y2＝ 4 x . ( 2) 設(shè) M ( x1， y1) ， N ( x2， y2) ，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)點 M 在 x 軸的上方，即 y1 0. 由 y ＝ 2 x 得 y ′ ＝1x，所以拋物線在點 M 處的切線 AM 的斜率 k ＝1x1， 所以直線 AM 的方程為 y － y1＝1x1( x － x1) ① 設(shè)直線 MN 的方程為 x ＝ my ＋ 1 ， 由????? x ＝ my ＋ 1y2＝ 4 x得， y2－ 4 my － 4 ＝ 0 ， 因為 Δ ＝ (4 m )2＋ 16 0 ，所以 y1＋ y2＝ 4 m ， 所以 MN 的中點 G ( x0,2 m ) ． 因為直線 AG ∥ x 軸，所以直 線 AG 的方程為 y ＝ 2 m ② 由 ① ， ② 得 A 點橫坐標(biāo) x ＝ 2 m x1－ x1. 因為點 M 在曲線 E 和直線 MN 上， 所以 y12＝ 4 x1，且 x1＝ my1＋ 1 ， 所以 x ＝ 2 m x1－ x1＝ my1－ x1＝ x1－ 1 － x1＝－ 1. 所以對任意的 m ∈ R ，點 A 的橫坐標(biāo)均為－ 1 ， 故點 A 恒在直線 x ＝－ 1 上． (3) 設(shè)直線 MA 交 x 軸于點 D ，因為 AG ∥ x 軸，且 ∠ M AG＝ ∠ GAC ， 所以 ∠ ADC ＝ ∠ ACD ，由 (2) 知 AB ⊥ CD ， 所以 |DB |＝ |BC |，所以 D ( － 3,0) ． 又 y － y1＝1x1( x － x1) ， 令 y ＝ 0 ，得 x ＝－ x1，所以 D ( － x1,0) ． 所以 x1＝ 3 ， y1＝ 2 x1＝ 2 3 ， M ( 3,2 3 ) ． 所以直線 MN 的方程為 y ＝ 3 ( x － 1) ， 結(jié)合拋物線對稱性得直線 MN 的方程為 y ＝ 3 ( x － 1) 或 y ＝－ 3 ( x － 1) ．
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