第六節(jié)二重積分的概念及性質(zhì)-資料下載頁
2025-07-20 20:18本頁面
【正文】 ),(d),( ???? ?DDyxgyxf ??推論 .d),(d),( ???? ?DDyxfyxf ??性質(zhì) 6(估值定理 ) 若在 D上處處有 m≤f(x,y)≤M，且 S(D)為區(qū)域 D的面積，則 ).(d),()( DMSyxfDmSD?? ?? ?(3) 性質(zhì) 7(二重積分中值定理 ) 設(shè) f(x,y)在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，則在 D上存在一點 ，使 ),( ??).(),(d),( DSfyxfD??? ??? (4) 證 由 f(x,y)在 D上連續(xù)知， f(x,y)在 D上能達到其最小值 m和最大值 M，因而估值式 (3)成立 .即有 MyxfDSmD?? ?? ?d),()(1成立 .再由有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，存在 ，使 D?),( ??.d),()(1),( ???DyxfDSf ??? (5) ),( ??f (5)式的等號右邊的式子稱為函數(shù) f(x,y)在 D上平均 值 .因而，積分中值定理又可以這樣說：“對有界閉區(qū) 域 D上連續(xù)函數(shù) f(x,y)，必在 D上存在一個點 使 取 f(x,y)在 D上的平均值” .故積分中值定理也是連 續(xù)函數(shù)的 平均值定理 . ),( ??例 設(shè) D是圓環(huán)域： ，試估計 22( ) dDxy ????41 22 ??? yx解 在 D上， 而 D的面積 S(D)=4π–π=3π. 41 22 ??? yx223 π e d 1 2 π .xyD??????由估值公式 (3)得
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