【正文】 是單位階躍函數(shù)。 1( ) ( )iNstaiih t A e u t?? ? () ateas??1 指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為對(duì) ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為 T，得到： 1( ) ( ) ( )iNs n Taiih n h n T A e u n T??? ?() 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 對(duì)上式進(jìn)行 Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)： ?????NiTsi zeA i1111? ????????????? ??nnNinTsinn znTueAznhzH i1)()()(? ??????0 1nnNinTsi zeAi1()Niai iAHsss????() 比較 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 二 .標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系 ???????naaa nTtththth )()()(?)( ?的采樣信號(hào)為:,)(? 得進(jìn)行拉氏變換對(duì) th a? ??? ?? dtethsH staa )(?)(?? ???? ??????? dtenTtth stna )()( ?? ???????????nsta dtenTtth )()( ????????ns n Ta enTh )( 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X ),()( nhnTh a ?在數(shù)值上sTeznnns n Ta znhenhsH??????????? ?? ?? )()()(?所以 即 sTeza zHsH ?? )()(?由此得到標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系 : sTze?() 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 設(shè) jsjz r e ??? ? ??按照 z=esT式 ， 得到 : j T j Tr e e e?? ??因此得到 : TreT??? ?? ???() 即， 當(dāng) σ=0時(shí) , r=1。 S平面上的虛軸映射到 z平面的單位圓 . 當(dāng) σ0時(shí) , r1。 當(dāng) σ0時(shí) , r1。 S平面上的左半平面映射到 z平面的單位圓內(nèi) . S平面上的右半平面映射到 z平面的單位圓外 . 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 另外 ， z=esT是一個(gè)周期函數(shù) ， 可寫成 2(),j M TsT T j T T Te e e e e M??? ????? 為任意整數(shù)TMTT )2( ?? ?????所以 可見數(shù)字頻率 ω與模擬頻率 Ω是線性關(guān)系但不是一一對(duì)應(yīng)的 . 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X σ=0, r=1 σ0, r1 σ0, r1 MT ?? 2???,...2,1,0 ???M.,映射到同一點(diǎn)與平面映射到若TZT??????????圖 z=esT,s平面與 z平面之間的映射關(guān)系 0 1 ]Im[zj]Re[z0 ?j?T/?T/??T/3?T/3??s平面 z平面 采樣信號(hào) 的頻譜與原模擬信號(hào)的關(guān)系： ???????naa nTtnTxtx )()()(? ???????????ksaa jkjXTjX )(1)(? 離散信號(hào) x(n) 的頻譜與原模擬信號(hào)的關(guān)系： ???????kajTjkTjXTeX )2(1)( ???Tja eXjX???? ?? )()(?比較： 有 sTeza zHsH ?? )()(?在 中，令 σ=0（ r=1） ，也可得到這個(gè)結(jié)論。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 脈沖響應(yīng)不變法（變換方法） 1( ) ( ) ( ) ( )LTaazH s h tH z h n??????? ?? 采樣 若 1()Niai iAHsss?? ??則 11() 1iNisTiAHzez ??? ??標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系（是否滿足第一點(diǎn)要求） sTze? ( ) ( ) ( ) ( )j ja s j z eH s H j H z H e? ?? ? ?? ? ?與 關(guān) 系（是否滿足第二點(diǎn)要求） ()Hj???()jHe?0 0 2?2?? ?模擬濾波器 希望的數(shù)字濾波器 轉(zhuǎn)換后 ?()jHe?0 2?2?? ?實(shí)際的數(shù)字濾波器 ???? 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 三 .頻譜混疊現(xiàn)象 設(shè)模擬濾波器的頻譜為 ) ] .([)( thFTjH aa ??的頻譜為的采樣信號(hào) ???????naaa nTtththth )()()(?)( ????????????ksaaa jkjHTthFTjH )(1)](?[)(? () 得代入和將中在 ,)()(? ?????? ? TjszHsH sTeza?jTj ezeza zHzHjH ?? ??? ? )()()(? 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 將 ()式代入上式 ,可得 : ???????????ksaezj jkjHTzHeH j )(1)()(??( ) 0 , /aH j T?? ? ? ?1( ) ( ),jaH e H jTT? ? ???? 假設(shè) 在這種情況下 ,用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器可以重現(xiàn)原模擬濾波器的頻響 . 則 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X | Ha( j ? ) |?Tπ2?Tπ?0TπT2 πH ( ej ?)? ? ? ?0 3 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ?1 / T. . .. . .圖 脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象 脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)高通濾波器和帶阻。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 四 .濾波器的傳輸函數(shù) 一般 Ha(s)的極點(diǎn) si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn) . 1()Niai iAHsss?? ?? 在 中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié) (只有實(shí)數(shù)乘法 )的形式為 () TiTiTTjTjiiiiiiiezTezTezzezezH?????22111)(1)(c o s21c o s112/112/1)(????????????????????????如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為 () iiiii jsss ???????? ???2,122)( 極點(diǎn) 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 () 相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)的形式為 TiTiTTjTjiiiiiiiezTezTezzezezH?????22111)(1)(c o s21s i n112/112/1)(????????????????????????() iiiii jss ???????? ?? 2,122)( 極點(diǎn) 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn) : 優(yōu)點(diǎn)： 頻率變換線性。 時(shí)域特性好。 缺點(diǎn)：頻譜混疊，不適合設(shè)計(jì)高通和帶阻。 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 用脈沖響應(yīng)不變法將 Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 20 . 5 0 1 2()0 . 6 4 4 9 0 . 7 0 7 9aHs ss? ??例 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù) Ha(s)為 0. 32 24 0. 32 24()0. 32 24 0. 77 72 0. 32 24 0. 77 72ajjHss j s j???? ? ? ?極點(diǎn)為 12( 0 .3 2 2 4 0 .7 7 2 ) , ( 0 .3 2 2 4 0 .7 7 7 2 )s j s j? ? ? ? ? ?解 首先將 Ha(s)寫成部分分式： 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X ) os () i n(????????????zeTezzTeTTT式中 T是采樣間隔 ,T的選取應(yīng)滿足抽樣定理 . 11 21 11)(?? ?????zejzejzHTsTs方法一 : 按照 ，并經(jīng)過(guò)整理，得到 11() 1iNisTiAHzez ??? ??那么 H(z)的極點(diǎn)為 1212 ,s T s Tz e z e?? 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 設(shè) T=1s時(shí)用 H1(z)表示 ， T= H2(z)表示 ， 則 11 1212 120 . 3 2 7 6()1 1 . 0 3 2 8 0 . 2 4 70 . 0 4 8 5()1 1 . 9 3 0 7 0 . 9 3 7 5zHzzzzHzzz???????????? 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 方法二 :轉(zhuǎn)換時(shí) ， 也可以直接按照 (),()式進(jìn)行轉(zhuǎn)換 。 首先將 Ha(s)寫成 ()式的形式， 如極點(diǎn) s1,2=σ1177。 jΩ1, 則 112 2 2 21 1 1 1 10 . 5 0 1 2( ) 0 . 6 4 4 9( ) ( )aHs ss??????? ? ? ? ? ? ?再按照 ()式 ， H(z)為 111112121s i n( ) 0 . 6 4 4 91 2 c o sTTTz e THzz e T z e???????????? ? ? 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X 圖 例 圖 (a)表示模擬濾波器的幅度特性 圖 (b)表示數(shù)字濾波器的幅度特性 模擬頻率 Ω與數(shù)字頻率 ω 滿足 ω=ΩT 如 T= (a)圖中 C點(diǎn) Ω=15rad/s=(b)圖中 c點(diǎn) ω= π = πrad 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X ???? jsaa sHjH )()(令 (a)圖的縱坐標(biāo)為 )0()(lg20jHjHaa ???jezj zHeH?? )()(令 (b)圖的縱坐標(biāo)為 )()(lg200jjeHeH ? 第 6章 無(wú)限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) X P194 6. 作拉氏變換的對(duì)?????? ?0,00,)( tteth ta1)()(0)(0??????????????????sdtedteedtethsHtssttstaa解 : .)( ??ssH a 的極點(diǎn)收斂域包括虛軸。 1( )