復習：關于線性方程組的兩個重要定理：-資料下載頁
2025-07-18 19:12本頁面
【正文】 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?（ 1） p為何值時，該向量組線性無關 ? 并在此時將向量 α = (4,1,6,10)T 用 α1， α2， α3， α4線性表示； （ 2） p為何值時，該向量組線性相關 ? 并在此時求出它 的秩和一個極大無關組 . 解 對矩陣（ α1， α2， α3， α4 ， α ）施行初等行變換 1 1 3 2 41 3 2 6 11 5 1 1 0 63 1 2 1 0pp??????????????????????????????????????267402124603412042311pp～ ?????????????????????????82900707003412042311pp～ ??????????????????????pp 12022101003412042311～ 顯然，當 p ≠ 2時，向量組 α1， α2， α3， α4線性 無關，此時設 α = x1α1 + x2α2 + x3α3 + x4α4,于是該方程 有唯一解，將上面的階梯形矩陣化成最簡形矩陣 ??????????????????????pp 12022101003412042311～ ?????????????????????pp 12022101002402012022～ ???????????????? pp 12022101001202220221????????????????????21100010100243001020221pppp～ 所以， 1 2 3 43 4 12.22pp? ? ? ? ???? ? ? ?（ 2）由階梯形矩陣 1 1 3 2 40 2 1 4 30 0 1 0 10 0 0 2 1pp??????? ? ? ??????? 可以看出，當 p = 2 時，向量組 α1， α2， α3， α4 線性相關，此時向量組的秩為 3，向量組 α1， α2， α3 或 α1， α3， α4 為向量組 α1， α2， α3， α4 的極大無關組 . 作業(yè)： 129頁、 17（ 1）； 20； 130頁、 23（ 2） . 向量組的線性相關 性主要知識網絡圖 向 量 組 的 線 性 相 關 性 n 維 向 量 運算 線性表示 概念 判定 線性相關 概念 判定 線性無關 概念 判定 充要條件 充分條件 充要條件 充分條件 極大無關組 概念 求法 向 量 空 間 概念 向量空間的基 線 性 方 程 組 Ax = b Ax = 0 初 等 行變換 階 梯 形 有解判定 總 有 解 R(A)≠R(B)無解 R(A)=R(B)有解 R(A)=n僅有 0解 R(A)n有非 0解 解 的 結 構 基 礎 解 系
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