拋物線標準方程及性質-資料下載頁
2025-07-14 22:12本頁面
【正文】 知拋物線y＝x2，過焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線交于A、B兩點，則坐標原點與A、B兩點構成的三角形的面積為________．解析：由拋物線的方程可得：x2＝4y，∴焦點坐標F(0,1)，將y＝1代入方程可得：x＝177。2.∴|AB|＝4，∴S△OAB＝|OF||AB|＝14＝：29．設F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝________.解析：由y2＝4x得F(1,0)，準線方程為x＝－1，又＋＋＝0，可知F是△ABC的重心，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3.又∵拋物線定義可得||＝x1＋1，||＝x2＋1，||＝x3＋1∴||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝3＋3＝6.答案：6三、解答題10．拋物線頂點在原點，它的準線過雙曲線－＝1的一個焦點，并且這條準線垂直于x軸，又拋物線與雙曲線交于點P(，)，求拋物線和雙曲線的方程．圖2解：∵交點在第一象限，拋物線的頂點在原點，其準線垂直于x軸，∴可設拋物線方程為y2＝2px(p0)．∵點P(，)在拋物線上，∴()2＝2p，p＝2，∴y2＝4x.∵y2＝4x的準線為x＝－1，且過雙曲線的焦點，∴－c＝－1，c＝1，即有a2＋b2＝1，?、儆帧唿cP(，)在雙曲線上，∴－＝1. ②聯(lián)立①②，解得a2＝，b2＝，雙曲線方程為4x2－y2＝1.故所求的拋物線與雙曲線方程分別為y2＝4x和4x2－y2＝1.11．拋物線y2＝2px(p0)有一內接直角三角形，直角的頂點在原點，一直角邊的方程是y＝2x，斜邊長是5，求此拋物線方程．解：設△AOB為拋物線的內接直角三角形，直角頂點為O，AO邊的方程是y＝2x，則OB邊的方程是y＝－x.由可得點A坐標為(，p)．由可得點B坐標為(8p，－4p)．∵|AB|＝5，∴＝5.∵p0，解得p＝，∴所求的拋物線方程為y2＝x.12．已知動點P(x，y)(y≥0)到定點F(0,1)的距離和它到直線y＝－1的距離相等，記點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設圓M過點A(0,2)，且圓心M(a，b)在曲線C上，若圓M與x軸的交點分別為E(x1,0)、G(x2,0)，求線段EG的長度．圖3解：(1)依題意知，曲線C是以F(0,1)為焦點，y＝－1為準線的拋物線．∵焦點到準線的距離p＝2，∴曲線C方程是x2＝4y.(2)∵圓M的半徑為∴其方程為(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.則x1＋x2＝2a，x1x2＝4b－4.∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.又∵點M(a，b)在拋物線x2＝4y上，∴a2＝4b，∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.∴線段EG的長度是4.
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