拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)-文庫吧
2025-06-29 22:12 本頁面
【正文】 2=y, 2p=，則焦點坐標(biāo)是F（0，）, 準(zhǔn)線方程是y=： (1)焦點坐標(biāo)是F（0，2） (2)焦點在直線3x4y12=0上 (3) 拋物線過點A（3，2）。解：(1)因為焦點在y軸的負半軸上，并且p/2=2，p=4， 所以拋物線的方程是x2=8y(2)由題意，焦點應(yīng)是直線3x4y12=0與x軸或y軸的交點， 即A（4，0）或 B（0，3）當(dāng)焦點為A點時，拋物線的方程是y2=16x當(dāng)焦點為B點時，拋物線的方程是x2=12y(3) 當(dāng)拋物線的焦點在y軸的正半軸上時，把A（3，2）代入x2 =2py，當(dāng)焦點在x軸的負半軸上時 得 p= 把A（3，2）代入y2 = 2px，得 p=∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2 =y或y2 = x例3. 設(shè)P是拋物線上的一個動點。（1）求點P到點A（1，1）的距離與點P到直線的距離之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值。解：（1）如圖3，易知拋物線的焦點為F（1，0），準(zhǔn)線是由拋物線的定義知：點P到直線的距離等于點P到焦點F的距離。于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A（1，1）的距離與點P到F（1，0）的距離之和最小。顯然，連結(jié)AF交曲線于P點，則所求最小值為，即為。圖4圖3（2）如圖4，自點B作BQ垂直準(zhǔn)線于Q交拋物線于點P1，則，則有=4即的最小值為4鞏固練習(xí)：已知點是拋物線上的一個動點，則點到點的距離與到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為 解析：運用拋物線的定義，將到該拋物線準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，如右圖，當(dāng)點與以及三點共線時，距離之和最小，即為已知A（3，1），拋物線上一點P（x,y），則|PA|+y的最小值為 。解析：拋物線的準(zhǔn)線為：y= 1，焦點F（0，1），記P在直線y= 1上的射影為Q，則y=|PQ|1=|PF|1，|PA|+y=|PA|+|PF|1，問題轉(zhuǎn)化為：求|PA|+|PF|的最小值，易見：|PA|+|PF|≥|AF|=3，當(dāng)且既當(dāng)F、P、A共線時等號成立，故：|PA|+y的最小值為2。求證：以拋物線過焦點的弦為直徑的圓，必與此拋物線的準(zhǔn)線相切。證明：如圖5，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過A、B兩點分別作AC、BD垂直于，垂足分別為C、D。取線段AB中點M，作MH垂直于H。圖5由拋物線的定義有：∵ABDC是直角梯形即為圓的半徑，而準(zhǔn)線過半徑MH的外端且與半徑垂直，故本題得證。已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，點在上且，則的面積為 解析：如圖，過點作垂直于準(zhǔn)線于點，由拋物線定義得，又則，在中，即，此時垂直于軸，為等腰直角三角形，故面積為設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.。證明：直線AC經(jīng)過原點O,∵拋物線的焦
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1