拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)-wenkub.com
2025-07-11 22:12 本頁(yè)面
【正文】 |AB|＝14＝：29．設(shè)F為拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線(xiàn)上三點(diǎn)，若＋＋＝0，則||＋||＋||＝________.解析：由y2＝4x得F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－1，又＋＋＝0，可知F是△ABC的重心，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3.又∵拋物線(xiàn)定義可得||＝x1＋1，||＝x2＋1，||＝x3＋1∴||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋3＝3＋3＝6.答案：6三、解答題10．拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線(xiàn)垂直于x軸，又拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)P(，)，求拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的方程．圖2解：∵交點(diǎn)在第一象限，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，其準(zhǔn)線(xiàn)垂直于x軸，∴可設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2＝2px(p0)．∵點(diǎn)P(，)在拋物線(xiàn)上，∴()2＝2p，p＝2，∴y2＝4x.∵y2＝4x的準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－1，且過(guò)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，∴－c＝－1，c＝1，即有a2＋b2＝1，?、儆帧唿c(diǎn)P(，)在雙曲線(xiàn)上，∴－＝1.?、诼?lián)立①②，解得a2＝，b2＝，雙曲線(xiàn)方程為4x2－y2＝1.故所求的拋物線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程分別為y2＝4x和4x2－y2＝1.11．拋物線(xiàn)y2＝2px(p0)有一內(nèi)接直角三角形，直角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，一直角邊的方程是y＝2x，斜邊長(zhǎng)是5，求此拋物線(xiàn)方程．解：設(shè)△AOB為拋物線(xiàn)的內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)為O，AO邊的方程是y＝2x，則OB邊的方程是y＝－x.由可得點(diǎn)A坐標(biāo)為(，p)．由可得點(diǎn)B坐標(biāo)為(8p，－4p)．∵|AB|＝5，∴＝5.∵p0，解得p＝，∴所求的拋物線(xiàn)方程為y2＝x.12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)(y≥0)到定點(diǎn)F(0,1)的距離和它到直線(xiàn)y＝－1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C.(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)A(0,2)，且圓心M(a，b)在曲線(xiàn)C上，若圓M與x軸的交點(diǎn)分別為E(x1,0)、G(x2,0)，求線(xiàn)段EG的長(zhǎng)度．圖3解：(1)依題意知，曲線(xiàn)C是以F(0,1)為焦點(diǎn)，y＝－1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)．∵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離p＝2，∴曲線(xiàn)C方程是x2＝4y.(2)∵圓M的半徑為∴其方程為(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.則x1＋x2＝2a，x1)解析：設(shè)P(x，y)，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離為2，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)x＝－的距離也是2，即x＋＝2，∴x＝，∴y＝177。x2=1,∵m=x1+1,n=x2+1,∴x1=m－1,x2=n－1代入x1x2=1得(m－1)(n－1)=1即m+n=mn.【答案】A課后作業(yè)：一、選擇題1．對(duì)拋物線(xiàn)y＝4x2，下列描述正確的是( )A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為(0,1) B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為(0，)C．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為(1,0) D．開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為(0，)解析：由y＝4x2得x2＝y(tǒng)，∴開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)．
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