拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-08-10 22:12 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 點(diǎn)為F（，0），∴經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+，代入拋物線方程，得y22pmyp2=0.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則yy2是該方程的兩根，∴y1y2=p2.∵BC∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，y2）.∴直線OC的斜率為k=，即k也是直線OA的斜率.∴直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.A、B是拋物線y2=2px(p0)上的兩點(diǎn)，滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.求證：（1）A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別為定值；（2）直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).證明（1）設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y12=2pxy22=2px2.∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0，y12y22=4p2x1x2=4p2(y1y2).∴y1y2=4p2，從而x1x2=4p2也為定值.（2）∵y12y22=2p(x1x2)，∴.由兩點(diǎn)式可得：令y=0?？傻弥本€AB與x軸的焦點(diǎn)坐標(biāo)∴直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（2p，0）.若橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)分成5∶3的兩段，則此橢圓的離心率為 ： (A) (B) (C) (D)[來源:]解析：拋物線y2=2bx的焦點(diǎn)為F（，0），∵F將線段F1F2分成5∶3的兩段，∴（+c）：（c ）=5∶3c=2be=,選D。斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)A、B，求線段A、B的長．分析：這是靈活運(yùn)用拋物線定義的題目．基本思路是：把求弦長AB轉(zhuǎn)化為求A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的和．解：如圖8－3－1，y2=4x的焦點(diǎn)為F (1，0)，則l的方程為y=x－1．由消去y得x2－6x+1=0．設(shè)A (x1，y1)，B (x2，y2) 則x1+x2=6．又A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、△APB的重心G的軌跡方程為 .解析：設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，∵y/=2x，∴兩切線斜率分別為：2x0和2x1,于是：切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以△APB的重心G的坐標(biāo)為 ，∴，結(jié)合=代入點(diǎn)P所在在直線方程，得到重心G的軌跡方程為：注：上述求軌跡的方法稱為“參數(shù)法”，一般先設(shè)法將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用“參數(shù)”表示，再消參數(shù)。過拋物線的焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線，分別交準(zhǔn)線于P、Q兩點(diǎn)，又過P、Q分別作拋物線對(duì)稱軸OF的平行線，交拋物線于M、N兩點(diǎn)，則M、N、F三點(diǎn)（ ） 【解析】設(shè)M(x1，y1)，Ｎ（x2，y2），設(shè)拋物線方程為y2＝2px.則F（，0），準(zhǔn)線x=－,∴P（－，y1），Ｑ（－，y2）由PF⊥QF得＝－1，∴y1y2＝－p2
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