【正文】 l effective not only to the white Gaussian noise but also to the impulsive noise ,that is to say ,they can denoise a kind of noise more than the conventional thresholding functions ,though the conventional thresholding functions are sometimes better than modified thresholding functions in terms of SNR. And the simulation results also shows that the MST function is obviously better than the other three modified thresholding functions.References:[1] Donoho D L. De2noising by soft2thresholding[J ]. IEEE Trans on IT, 1995 ,41:6132627.[2]Donoho D L. Johnstone I M. Ideal spatial adaption via wavelet shrinkage[J ].Biometrika ,1994 ,81:[3]Zhao Ruizhen ,Song Guoxiang and Wang threshold estimaton of wavelet coefficients for improving denoising[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University,2001 ,19(4) :6252628.[4] Donoho . ,Johnstone I. M. . Adapting to unknow smoothness via wavelet shrinkage[J ]. J. . ,90:120021224.[5]Peng Y. H. . De2noising by modified soft—thresholding[J] IEEE Trans on IT,2000 ,63:7602762附錄B： 英文文獻(xiàn)譯文基于4種改進(jìn)閾值函數(shù)的小波去噪DONG Yongsheng , YI Xuming（數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢大學(xué)，武漢430072，中國(guó)）【摘要】：本文提出了四種改進(jìn)的閾值函數(shù)。他們?cè)诶碚撋媳蛔C明能夠有效的去除脈沖噪聲。仿真結(jié)果表明，在優(yōu)化信噪比和均方誤差方面，改進(jìn)的軟閾值函數(shù)明顯優(yōu)于其它三種改進(jìn)的閾值函數(shù)?！娟P(guān)鍵詞】：閾值；小波變換；去噪2000核磁共振(MR)課題類：94A12文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：（2006）05047305025577971引言自從小波變換開(kāi)始應(yīng)用在信號(hào)處理，小波變換閾值去除信號(hào)和圖像中的噪聲就引起了人們重視。近年來(lái)，Donoho等人[ 1，2 ]提出了軟閾值（CST）和硬閾值（CHT）。幾年后，折衷函數(shù)（CCT）和平方函數(shù)（CMST）[ 3，4 ]也提出了軟閾值和硬閾值的概念。傳統(tǒng)的小波閾值方法被證明具有有效的和良好的視覺(jué)效果[ 1 ]。以下是在小波閾值去噪方法的三個(gè)步驟。應(yīng)用離散小波變換（DWT）的向量Y和獲得實(shí)證的小波系數(shù)在尺度j =1,2，……J.閾值函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)小波系數(shù)應(yīng)用在每個(gè)尺度j，其中J=1,2……J。然后估計(jì)系數(shù)在每個(gè)尺度得到基于選定的閾值λ=[λ1，λ2，λλ，……λJ]。請(qǐng)注意，λj是在尺度小波系數(shù)閾。對(duì)閾值小波系數(shù)利用逆小波變換（IDWT）得到信號(hào)估計(jì)值。然而，脈沖噪聲在模擬的實(shí)驗(yàn)研究中不能進(jìn)行有效濾除。在本文中，提出了四個(gè)改進(jìn)的閾值函數(shù)，它們不僅可以平穩(wěn)濾除高斯白噪聲而且還能有效濾除脈沖噪聲，這個(gè)結(jié)論是通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)和理論證明得到的。此外，對(duì)信噪比和均方誤差而言，用改進(jìn)的軟閾值函數(shù)得到的結(jié)果明顯優(yōu)于其他三種改進(jìn)的閾值函數(shù)的結(jié)果。2四改進(jìn)的閾值函數(shù)Daubechies（1992）后，我們正式定義了一個(gè)小波存在所有功能ψ∈L2（R），符合允許條件，特別是∫Rψ(x) dx = 0這個(gè)隱含條件。函數(shù)f ∈L2 R的整數(shù)小波變換（IWT），這個(gè)結(jié)果是非常有用的應(yīng)用程序。我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)向這個(gè)問(wèn)題：如何改進(jìn)閾值函數(shù)？假設(shè)觀測(cè)到由yi = si + ni 　i = 1,2, …, N得到的數(shù)據(jù)向量Y=[y1，y2，……，yN]其中si是原始信號(hào)的值，ni是獨(dú)立同分布滿足N（0，σ）的高斯噪聲值?，F(xiàn)在應(yīng)用閾值函數(shù)實(shí)證各尺度小波系數(shù)j = 1,2，……J。這里有一些閾值函數(shù)，如硬閾值函數(shù)，軟閾值函數(shù)，折衷函數(shù)，模平方函數(shù)等。然而，雖然他們不能有效地濾除脈沖噪聲，但他們能濾除高斯白噪聲。本文提出了四種改進(jìn)的閾值函數(shù)，可有效的濾除高斯白噪聲和脈沖噪聲?，F(xiàn)在，以硬閾值函數(shù)作為一個(gè)例子，我們將展示的閾值函數(shù)如何變?yōu)楦倪M(jìn)的硬閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)定義如下：ωj,k = ωj,k，ωj, k≥λj, 0, ωj,k λj . （1）　　其中λj =σ 2logN/ log(j +1) 　j =1,2, …J.因?yàn)槲覀兛偸峭ㄟ^(guò)在一段時(shí)間內(nèi)使用觀察ωj,k觀測(cè)信號(hào)來(lái)估計(jì)小波變換系數(shù)，其噪聲成分的小波變換系數(shù)大于閾值的保存。對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，我們假設(shè)M是高通濾波器的長(zhǎng)度或支持小波變換的長(zhǎng)度。對(duì)于Haar小波，我們選擇M =1。因此，改進(jìn)硬閾值函數(shù)（MHT）是：ωj,k = ωj,k , ωj,k ≥λand uj, k ≥λj 0, ωj,k λj or uj,k λj （2）脈沖噪聲可以通過(guò)改進(jìn)的硬閾值函數(shù)有效地濾除，例如，如果觀察到的信號(hào)在點(diǎn)k0[5]被脈沖噪聲損壞，此外ωj,k ≥λj 0，和Haar被選中，然后根據(jù)推論1，uj,k = ωj, k m = ψ m = 0 λj,所以如果我們使用改進(jìn)的硬閾值函數(shù)可以濾除更多的噪聲?？偨Y(jié)，當(dāng)uj,k0 =0 ≤λj時(shí)，如果我們使用改進(jìn)的硬閾值函數(shù)可以濾除更多的噪聲。以同樣的方式，其他三個(gè)改進(jìn)的閾值函數(shù)的如下：改進(jìn)的硬閾值函數(shù)（MST）：ωj, k = sign(ωj,k) ( ωj,k λj ) , ωj,k ≥λj and uj,k ≥λj0, ωj,k λj or uj,k λj （3）和改進(jìn)的模平方閾值函數(shù)（MMST）：ωj,k = sign(ωj,k) (ωj,k) λj , ωj,k ≥λj and uj,k ≥λj0, ωj,k λj or uj,k λj （4）改進(jìn)后的折衷閾值函數(shù)（MCT）：ωj,k = sign(ωj,k) ( ωj,k αλj) , ωj,k ≥λj and uj,k ≥λj0, ωj,k λj or uj,k λj （5）其中α∈（0,1）根據(jù)推論1，我們可以得出結(jié)論：這三個(gè)改進(jìn)的閾值函數(shù)都可以濾除脈沖噪聲。當(dāng)然，他們也都能有效地濾除高斯白噪聲。為了檢測(cè)濾除噪聲的四種改進(jìn)的閾值函數(shù)的能力，將正弦信號(hào)作為測(cè)試信號(hào)，它分別被高斯白噪聲和脈沖噪聲損壞。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，Haar小波作為小波基和最大的離散小波變換(DWT) l標(biāo)準(zhǔn)j = 4，并且選取的標(biāo)準(zhǔn)偏差σ= median(abs(cd))/ 0. 6745，在每個(gè)尺度j =1,2，……J有不同的閾值λj=σ2logN/log(j + 1)。在表1和表2分別給出了不同小波閾值方法估計(jì)的信噪比和均方誤差。從表1和表2，我們可以看出這八個(gè)閾值函數(shù)有各自的優(yōu)點(diǎn)，這取決于測(cè)試信號(hào)。其中MST函數(shù)明顯優(yōu)于其他三種改進(jìn)的閾值函數(shù)。表1 八個(gè)閾值方法的信噪比CSTCHTCMSTCCTMSTMHTMMSTMCTBlocksBumpsHeavy sine表2 八個(gè)閾值方法的均方誤差CSTCHTCMSTCCTMSTMHTMMSTMCTBlocksBumpsHeavy sine4結(jié)論在本文中，提出了四種有效的閾值函數(shù)，它們不僅能夠有效濾除高斯白噪聲，而且也能有效濾除脈沖噪聲，也就是說(shuō)，它們比傳統(tǒng)閾值函數(shù)去除噪聲的種類多，盡管傳統(tǒng)閾值函數(shù)有時(shí)在信噪比方面優(yōu)于改進(jìn)的閾值函數(shù)，但是仿真結(jié)果也表明，MST性能明顯優(yōu)于其他三種改進(jìn)的閾值函數(shù)的引用。5. 參考文獻(xiàn)[ 1 ] Donoho D [J].。匯刊，1995，41:6132627。[ 2 ]DonohoDL. Johnstone I [J]。Biometrika，1994，81：[ 3 ]趙瑞珍，宋國(guó)香和王鴻。更好的閾值估計(jì)的小波系數(shù)的提高去噪[J].。西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，19（4）：6252628。[ 4 ]Donohodl，約翰斯通I.M.。適應(yīng)未知的光滑小波收縮[J].。，90:120021224。[ 5 ]Peng Y. H.。采用改進(jìn)的軟閾值去噪[J].匯刊，2000，63:7602762附錄C： 程序源代碼【1】%圖像的二維小波三級(jí)分解與重構(gòu)%讀入原圖X = imread(39。39。)。 %將原圖轉(zhuǎn)為灰度圖像 B=rgb2gray(X)。 %轉(zhuǎn)為浮點(diǎn)類型 C=double(B)。 nbcol=size(C,1)。 %第一次分解[cA1,cH1,cV1,cD1]=dwt2(C,39。db139。)。 dec1d=[cA1, cH1。 cV1, cD1]。%第二次分解[cA2,cH2,cV2,cD2]=dwt2(cA1,39。db139。)。 dec2d=[cA2, cH2。 cV2, cD2]。%將第二次分解后的矩陣代替第一次分解中的cA1分量合并成一個(gè)矩陣dec4d = [dec2d,cH1。cV1,cD1]。 %第三次分解 [cA3,cH3,cV3,cD3]=dwt2(cA2,39。db139。)。 dec3d=[cA3, cH3。 cV3, cD3]。%將第三次分解后的矩陣代替第二次分解中的cA2分量合并成一個(gè)矩陣dec5d = [dec3d, cH2。 cV2, cD2]。dec6d = [dec5d, cH1。 cV1, cD1]。%由二維小波分解重構(gòu)原始圖像%第一次重構(gòu)t1=size(dec3d)。 X1=idwt2 (cA3,cH3,cV3,cD3,39。db139。,t1)。%第二次重構(gòu)t2=size(dec2d)。 X2=idwt2 (X1,cH2,cV2,cD2,39。db139。,t2)。%第三次重構(gòu)t3=size(dec1d)。 X3=idwt2 (X2,cH1,cV1,cD1,39。db139。,t3)。%顯示以上各圖像figure,subplot(2,4,1),imshow(X),title(39。原圖39。)。subplot(2,4,2),imshow(B),title(39?；叶葓D像39。)。subplot(2,4,3),imshow(dec1d,[]),title (39。第一次分解后的圖像39。)。subplot(2,4,4),imshow(dec4d,[]),title(39。第二次分解后的圖像39。)。subplot(2,4,5),imshow(dec6d,[]),title(39。第三次分解后的圖像39。)。subplot(2,4,6),imshow(X1,[]),title (39。第一次重構(gòu)39。)。subplot(2,4,7),imshow(X2,[]),title (39。第二次重構(gòu)39。)。subplot(2,4,8),imshow(X3,[]),title (39。第三次重構(gòu)39。)。figure,imshow(dec4d,[]),title(39。第二次分解后的圖像39。)。figure,imshow(dec6d,[]),title(39。第三次分解后的圖像39。)?！?】%非線性小波圖像增強(qiáng)load woman。subplot(1,2,1)。image(X)。title(39。原始圖像39。)。axis square。[c,s] = wavedec2(X,2,39。db239。)。sizec = size(c)。for i=1:sizec(2) if(c(i)300) c(i)=2*c(i)。 else c(i)=*c(i)。 endendx1 = waverec2(c,s,39。db239。)。subplot(1,2,2)。ima