【正文】 落在某個(gè) 的支集內(nèi)，則小波系數(shù) 可能會(huì)出現(xiàn)一個(gè)很大的值；0x,()jkx?,jkf???若 的支集長(zhǎng)度為 N+1，如果 N 很大，就可能會(huì)有大量的小波系數(shù)值很大，這與()實(shí)際中希望小波系數(shù)的值盡可能小相悖。還有一個(gè)原因在于短支集能夠提高計(jì)算速度，這在應(yīng)用中也是非常重要的。另外，小波的緊支性與消失距之間的關(guān)系也很密切。對(duì)于正交小波基來(lái)說(shuō)，若 具有 m 階消失距，則其支集長(zhǎng)度至少為 2m1 。[21]第三章 小波基的選取及構(gòu)造22這就是說(shuō)，當(dāng)我們?cè)黾酉Ь鄷r(shí)，就不可避免的增加了支集長(zhǎng)度。若函數(shù) 的正()fx則性比較高，可以選擇高消失距的小波，若 的奇異點(diǎn)較多，可以選擇短支集的()fx小波。⑷ 對(duì)稱性 [201]?尺度函數(shù) 和小波 的對(duì)稱性，反映在濾波器中，序列 和 是()x?()x?0{}Nkh?0kg?對(duì)稱序列，也就是說(shuō) ( )，對(duì) 也如此。在信號(hào)處理中濾波iNih???0,./20{}Nkg?器的( 反 )對(duì)稱性在頻域上表現(xiàn)為(廣義) 線性相位。對(duì)稱濾波器組具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn): 一方面人類的視覺系統(tǒng)對(duì)邊緣附近對(duì)稱的量化誤差較非對(duì)稱誤差更不敏感, 另一方面對(duì)稱濾波器組具有線性相位, 在對(duì)圖像進(jìn)行處理時(shí), 線性相位是很重要的, 對(duì)圖像邊緣做對(duì)稱邊界延拓時(shí), 重構(gòu)圖像邊緣部分失真較小, 有利于獲得高質(zhì)量的重構(gòu)圖像。但是 Daubechies 在《小波十講》中已經(jīng)證明了在緊支正交的實(shí)數(shù)小波中只有Haar 小波是具有對(duì)稱性。于是人們放棄正交性構(gòu)造雙正交緊支小波，因而在圖像壓縮中常用的小波為雙正交小波。167。 構(gòu)造小波濾波器的矩陣方法有限長(zhǎng)信號(hào)的 Mallat 算法等價(jià)于向量空間的矩陣變換，且變換矩陣是一個(gè)有限2循環(huán)矩陣。文獻(xiàn)[26]提出最小矩陣的概念(minimal matrix)，由此而得到的一些定義和定理可以推出一種新的構(gòu)造小波濾波器的算法。這種方法避免使用 Z 變換或Fourier 變換，使得小波濾波器的構(gòu)造變得簡(jiǎn)單, 是一種非常好的構(gòu)造小波的方法。由于正交小波是雙正交小波的特殊情形，所以我們只討論雙正交情形，并且假設(shè)濾波器長(zhǎng)度均為有限長(zhǎng)度的。令序列對(duì){ }( )和{ }( )為小波分解端的濾波nh11,0ab??ng22,0ab??器組，這一對(duì)濾波器組產(chǎn)生 N 階的循環(huán)矩陣 M。令{ }( )和{ }nh?11,a???ng?( )為相應(yīng)的重構(gòu)濾波器組，這一對(duì)產(chǎn)生 N 階循環(huán)矩陣 ，X 是一個(gè)22,0ab??? MN 維離散信號(hào)的列向量，N 為偶數(shù)。信號(hào) X 的周期延拓極記為 。*定理 [6](1) Y=MX 是信號(hào) 周期上的一次離散小波分解。它的前 N/2 個(gè)分量為低頻系*X數(shù)，后 N/2 個(gè)分量為高頻分量。(2) X= Y 是信號(hào)的重構(gòu)。M?推論 完全重構(gòu)條件＝ (對(duì)于任意 k, l) ()22knlkmlhg?????,kl?成立當(dāng)且僅當(dāng) M=I，這里 I 為單位矩陣。T?定理 表明離散小波變換確實(shí)是有限維向量空間上的線性變換。很明顯，當(dāng)小波變換是正交時(shí)，矩陣 M 也是正交矩陣。矩陣 M 需要足夠大的維數(shù)，但是我們第三章 小波基的選取及構(gòu)造23不清楚到底要多大。令 ，D ＝max{ }.112max{,1}tba????212max{,1}tba??????12,t定理 存在一個(gè)有著最小的維數(shù) N 的變換矩陣 M 使得[26](1) ＝ (對(duì)于任意 k, l)成立當(dāng)且僅當(dāng) M=I2knlkmlhg?????,kl?T?(2) D N max min . ()?1{,}ba?12{,}ab??定理 使得濾波器的設(shè)計(jì)僅僅依賴于一個(gè)最小維數(shù)的矩陣。一旦所有濾波器的支集確定之后，矩陣的維數(shù)也可以由此估計(jì)出來(lái)。定義 如果{ }和{ }為小波變換的分解濾波器，那么由此產(chǎn)生的具有[26]nhng最小維數(shù)的循環(huán)矩陣叫做小波變換的最小矩陣(minimal matrix)。一般來(lái)說(shuō) 式不是最小矩陣的階數(shù)，為了方便， 式被看作最小矩陣的階數(shù)。給定濾波器對(duì){ }和{ }滿足nhng= ()nh?2＝0 ()ng假定由這對(duì)濾波器產(chǎn)生的矩陣 M 是可逆的，則有如下定理定理 假設(shè){ }和{ }滿足 和 ，{ }和{ }的長(zhǎng)度為偶[26]nhngnhng數(shù)，且{ }為對(duì)稱的。令 M 為由{ }和{ }產(chǎn)生的 N 維循環(huán)矩陣，并假定 M 為nhn可逆的。令 為 的列向量。那么有1,iiNigG????????? 1= (1 i N/2) (),nig??2?=0 (N/2+1 i N) (),in定理 令 M 為一個(gè)由{ }和{ }產(chǎn)生的循環(huán)矩陣，假設(shè) M 是可逆的，[26] nhng其逆 = ，那么 也是一個(gè)由某個(gè)濾波器對(duì)產(chǎn)生的循環(huán)矩陣。1T??證明：令 X= 為方程12(,.)TNxMX= ()(,0.,)的解，或等價(jià)的說(shuō)，X 為 的第一列。我們只需證明 Y= 為方程? 12(,.,)TNNxx??MY= (),.T的解。容易證明方程() 能推出() ，反之亦然，即方程()和() 是等價(jià)的。這說(shuō)明 Y 是 的第二列，也就是說(shuō) 是由某個(gè)序列對(duì)產(chǎn)生的循環(huán)矩陣。TM? TM?把 M 和 分別寫成如下形式：第三章 小波基的選取及構(gòu)造24 ()HMG??????? ()?此處 H 和 G， 和 均為 N2N 的矩陣。?假設(shè) M 和 均為最小矩陣，且 和 分別表示 和 的第一行，則有TA?BH?G， TA[1,0.]??()， BO()， ()TG??， ()[1,0.]T其中 O 表示元素全部為零的矩陣。定理 M=I 成立當(dāng)且僅當(dāng)方程 ()()和()至()均成立。[26]M?由此可以得到以下設(shè)計(jì)濾波器的算法 ：[26]1．正交情形的算法。當(dāng) M 為一個(gè)正交矩陣時(shí)， = 。假設(shè) M 為最小矩陣。1T此時(shí)，方程() 是一個(gè)僅與{ }相關(guān)的二次方程；而方程()是一個(gè)僅與{nh}相關(guān)的二次方程。于是，方程() ()和方程() ()構(gòu)成了構(gòu)造正ng交小波濾波器的必要條件。2．雙正交情形的算法。雙正交小波濾波器含有兩隊(duì)濾波器。如果 G 確定了，()和()為線性方程組， ()和()亦為線性方程組。 () 和()，()和()為構(gòu)造雙正交小波濾波器的必要條件。根據(jù)這些條件，人們可以根據(jù)自己的需要設(shè)計(jì)小波濾波器。文[26]提到算法可能無(wú)法得到濾波器。例如，77 完全重構(gòu)雙正交濾波器不存在。文中并沒有說(shuō)明何時(shí)濾波器存在何時(shí)不存在，下一節(jié)將討論一些前提條件，可以幫助在一定程度上確定濾波器存在與否。注：N 階 2 循環(huán)矩陣是這樣一個(gè)矩陣：第三章 小波基的選取及構(gòu)造2501120222323 1011202.......jjajjahhhggg???????????????????2323 1....?? ?? ?? ?????? ????????? ?167。 矩陣法構(gòu)造濾波器的一些條件定理 若濾波器長(zhǎng)度為偶數(shù)，則小波必為奇對(duì)稱。若濾波器長(zhǎng)度為奇數(shù)，則小波必為偶對(duì)稱。證明：反證法，設(shè)小波分解端濾波器長(zhǎng)度為 2n， ={}ig1,.,n?1,.g為偶對(duì)稱1,}ng?則 = , n 為奇數(shù){ih1,.,ng?1,.g1}n?或 = , n 為偶數(shù)?那么有 =0，這與 = 矛盾，所以此時(shí)小波必為奇對(duì)稱。i?ih?2類似的可以知道，若{ }為奇數(shù)長(zhǎng)，則其必為偶對(duì)稱。ig定理 若濾波器{ }，{ }均為奇數(shù)長(zhǎng)，則它們的長(zhǎng)度之差必為 2 的奇[18] i?數(shù)倍數(shù)；若濾波器{ }，{ }均為偶數(shù)長(zhǎng),則它們的長(zhǎng)度之差必為 2 的偶數(shù)倍數(shù)。ihi?定義 若{ }滿足[26]n0,???則說(shuō){ }有 n 階消失矩。g 如果{ }對(duì)應(yīng)某個(gè)小波 ，則定義 與 是等價(jià)的 。()x?[26]定理 : 濾波器為奇數(shù)長(zhǎng)的雙正交小波其消失矩必為偶數(shù)；濾波器為偶數(shù)長(zhǎng)的雙正交小波其消失矩必為奇數(shù)。從文[26]的角度 , 我們從具體的例子出發(fā)來(lái)說(shuō)明：先設(shè)濾波器長(zhǎng)度為 11，消失矩為 6，{ }={f, e, d, c, b, a, b, c, d, e, f}，定義 關(guān)于消失矩的定義可以得到矩陣igA：A=1???????? ?? ????????????????????? ???? ?使得 AX=0, 其中 X= (,)Tabcdef第三章 小波基的選取及構(gòu)造26經(jīng)過(guò)初等行變化，我們看到一階消失矩滿足時(shí)，則二階消失矩自動(dòng)滿足，三階消失矩滿足時(shí)，則四階消失矩自動(dòng)滿足，而五階消失矩滿足時(shí)，六階消失矩自動(dòng)滿足。就是說(shuō)矩陣行之間滿足一定的相關(guān)性。所以我們可以看出濾波器長(zhǎng)度為奇數(shù)時(shí)，其消失矩應(yīng)為偶數(shù)。同樣，在小波濾波器長(zhǎng)度為偶數(shù)時(shí)，其為奇對(duì)稱，所以一階消失矩自動(dòng)滿足，可以看到當(dāng)二階消失矩滿足時(shí)，三階消失矩自動(dòng)滿足，而四階消失矩滿足時(shí)，五階消失矩自動(dòng)滿足。所以濾波器長(zhǎng)度為偶數(shù)時(shí)，其消失矩應(yīng)為奇數(shù)。定理 分別具有 p 和 q 階消失矩的雙正交小波 和 的支集長(zhǎng)度至少為[21] ??p+q1。定理 如果對(duì)于 和 ，{ }，{ }是非零的，那么[21]12Nn?12nN??nhn和 有分別等于 和 的支集，且 與 的支集長(zhǎng)度相同，都等于??2,]?[,]???.l???這說(shuō)明 ，即{ }， { }長(zhǎng)度之和為 ，在 和2121N???nhn?2l??有 p 和 q 階消失距的小波時(shí)，如果需要最小支集，{ }，{ }長(zhǎng)度之和為 2(p+q).?? nh?167。 具體小波的構(gòu)造參照上面幾點(diǎn), 我們可以根據(jù)需要去設(shè)計(jì)小波, 如要設(shè)計(jì)分解端消失矩為 6, 而重構(gòu)端消失矩為 4 的小波, 則此時(shí)小波濾波器的長(zhǎng)度應(yīng)為奇數(shù)并且是偶對(duì)稱的, { }，nh{ }長(zhǎng)度之和至少為 2(4＋61)+2=20. 根據(jù)定理 , 9/9 和 11/11 都是不可能的. nh?當(dāng)然我們希望設(shè)計(jì)支集最小的小波, 根據(jù)定理 , 這時(shí)候 10/10 小波是不行的, 而9/11 小波和 11/9 小波是可能的. 于是設(shè) 1/ { }={f, e, d, c, b, a, b, c, d, e, f}, 其支2ig集為[4, 6], 對(duì)偶{ }={x, w, v, u, t, u, v, w, x}, 其支集為[3,5]. { }具有 6 階消失矩, ig? ig根據(jù)定義 的消失矩條件它應(yīng)滿足方程:a+2b+2c+2d+2e+2f=04f3e2dc+a+2b+3c+4d+5e+6f=016f+9e+4d+c+a+4b+9c+16d+25e+36f=064f27e8dc+a+8b+27c+64d+125e+216f=0256f+81e+16d+c+a+16b+81c+256d+625e+1296f=01024f243e32dc+a+32b+243c+1024d+3125e+7776f=0考慮到 , 且 1/ =1, 有1()iihg???2ih??a2b+2c2d+2e2f=1求得他們的解是:c = 6a/7 8b/7+3/32, d = a/79b/1427/128, e =5a/14+8b/7+5/32, f =5b/14a/75/128根據(jù)定理 ，濾波器對(duì)構(gòu)成的極小矩陣(Minimal Matirx)的階數(shù)是 18。于是構(gòu)造一個(gè) 18 階的 2循環(huán)矩陣?；? 節(jié)的算法，可以獲得一個(gè)方程組如下：at+2bu+(12a/716b/7+3/16)v+(2a/79b/727/64)w+(5a/7+16b/7+5/16)x=1(6a/78b/7+3/32)t+(a/7+5b/1427/128)u+(19a/14+8b/7+5/32)v+(9b/14a/7第三章 小波基的選取及構(gòu)造275/128)w+(6a/78b/7+3/32)x=0(5a/14+8b/7+5/32)t+(b1/4)u+(6a/78b/7+3/32)v+bw+ax=0(5b/14a/75/128)u+(5a/14+8b/7+5/32)v+(a/79b/1427/128)w+(6a/78b/7+3/32)x=0(5b/14