【正文】 函數(shù)稱為小波函數(shù)，如果滿足準許條件： (21) 其中為的Fourier變換，則連續(xù)小波變換定義為： (22)式中，且,a為縮放因子（對應(yīng)于頻率信息）；b為平移參數(shù)(對應(yīng)于時空信息)。表示的復(fù)共軛。準許條件在下可以等價地表示為： (23)小波變換結(jié)果為各種小波系數(shù)，這些系數(shù)由尺度和位移函數(shù)組成。(DWT) (24)令,則 (25)式中，當與正交時，,即這時對“沒有貢獻”。小波的尺度當時，取,下面小波函數(shù)可以實現(xiàn)離散化且不丟失信息： (26) 根據(jù)以上的討論，離散小波變換的定義如下： 設(shè)，是常數(shù)， .則稱 (27)為的離散小波變換。特別地，取，則稱以離散小波函數(shù) 為函數(shù)的(27)式變換稱為二進制小波變換。 若信號函數(shù)為二維小波母函數(shù)，則其構(gòu)造可由一維母小波的張量積形成。 且 (28) 若信號函數(shù)為二維小波母函數(shù)，則其構(gòu)造可由一維母小波的張量積形成。 因為圖像信號是一種二維信號，所以將一位小波擴展為二維情況，便于后續(xù)的使用和分析。 (29) 只要把參數(shù)a,b,c離散化為常數(shù)，,則有離散參數(shù)變換： (210)將x,y離散化，即得到離散空間小波變換： (211) 令,即得到離散小波變換，表示為: (212)小波理論包括連續(xù)小波和二進制小波變換，在映射到計算域的時候會出現(xiàn)很多問題 ，因為兩者都存在信息的冗余，在對信號進行采樣以后，需要計算的信息量還是相當大的，特別是連續(xù)的小波變換，因為要對精度內(nèi)所有的位移和尺度都要做計算，所以計算量非常的大。而二進小波變換雖然在離散的尺度上進行平移和伸縮，但是小波之間并沒有正交性，各個分量的信息是攙雜在一起的，這為我們的分析帶來了不便。多分辨率分析(Multiresolution Analysis MRA)，也稱為多尺度分析，它是建立在函數(shù)空間概念上的理論，多分辨率分析在小波變換理論中具有非常重要的地位。多分辨率分析的一系列尺度空間是由同一尺度函數(shù)在不同尺度下張成的，即一個尺度函數(shù)對應(yīng)一個多分辨率分析[2]。通俗地講，多分辨分析就是要構(gòu)造一組函數(shù)空間，每組空間的構(gòu)成都有一個統(tǒng)一的形式，而所有空間的閉包則逼近。在每個空間中，所有的函數(shù)都構(gòu)成了該空間的標準化正交基，而所有函數(shù)空間的閉包中的函數(shù)則構(gòu)成的標準化正交基，那么，如果對信號在這類函數(shù)空間上進行分解，就能夠得到互相正交的時頻特性。由于空間數(shù)目是無限可數(shù)的，因此能夠很方便地分析我們所需要的信號的某些特性。對于任意函數(shù)，可以將它分解為細節(jié)部分(小波空間)與大尺度逼近部分(尺度空間)，然后對大尺度逼近部分進一步分解。這樣重復(fù)就能夠得到任意尺度上的逼近部分與細節(jié)部分，這就是多分辨率分析的框架。每進行一次小波分解都把輸入信號分解為低頻部分與高頻細節(jié)部分，而且每次的輸出采樣率都能夠再減半，從而保證總的輸出系數(shù)長度保持不變，這樣就將原始離散信號進行了多分辨率分解。在圖像處理中，把二維圖像信號所占的總頻帶定義為空間，用理想的低通濾波器與高通濾波器在行和列方向?qū)λ鼈兎謩e分解成低頻部分 與高頻部分，每一個方向的兩部分分別反映出該圖像信號在剖分方向上的概貌與細節(jié)；對于 經(jīng)第二級()分解后又被分解成低頻、垂直方向的高頻、以及對角線方向的高頻，…… , 在這種空間分解過程中，反映的是圖像信號在空間中沿方向的低頻子空間，反映的是圖像信號在空間中沿方向細節(jié)的高頻子空間。從多分辨率分析可以看出，空間的每次分解包含兩個部分：一部分是圖像信號經(jīng)過低通濾波后得到的低頻概貌；另一部分是經(jīng)過高通濾波（小波變換）得到的圖像高頻細節(jié)。對于低頻概貌，重復(fù)以上的過程，最終把圖像信號分解成多個等級的高頻細節(jié)與最后一次低通濾波后的低頻概貌之和。下面簡要介紹一下多分辨分析的數(shù)學(xué)理論。定義：空間中的多分辨分析是指滿足如下性質(zhì)的一個空間序列：（1）單調(diào)性：，對任意（2）漸進完全性：，（3）伸縮完全性：（4）平移不變性：（5）Riesz基存在性：存在，使得構(gòu)成的Risez基。滿足的上述性質(zhì)稱為多尺度分析，即任意函數(shù),應(yīng)用多尺度分析將其分解為細節(jié)部分或是某一方向上的細節(jié)部分和的基本特征部分,然后將進一步分解，可得到任意尺度下基本特征部分以及細節(jié)部分之和。隨著尺度的減小，其張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多，尺度空間變大。相反，隨著尺度的增大，其張成的尺度空間只能包括大尺度的緩變信號。所以，尺度越小，尺度空間就越大，對應(yīng)頻率就越高；反之，尺度越大，對應(yīng)尺度空間就越小，頻率越低。 小結(jié)本章主要介紹了小波變換的基本理論，包括小波函數(shù)及一維和二維小波變換的的基本概念，以及小波多分辨率分析的基本概念，主要介紹了幾種常用的公式及其性質(zhì)。 Mallat算法1989年Mallat在小波變換多分辨分析理論與圖像處理的應(yīng)用研究中受到塔式算法的啟發(fā)，提出了信號的塔式多分辨分析分解與重構(gòu)的快速算法，即著名的Mallat算法[2]。該算法在小波變換中的地位相當于FFT在傅里葉變換中的地位，該算法的提出使小波理論得到了突破性的進展，使小波分析成為近年來迅速發(fā)展起來的新興學(xué)科并得到了廣泛應(yīng)用。由于數(shù)字圖像通常用二維信號描述，因此這里只討論二維的多分辨率分析。Mallat給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波的快速算法——Mallat算法。Mallat算法經(jīng)過一組分解濾波器H(低通濾波器LPF)與G(高通濾波器HPF)對信號進行濾波，然后對輸出結(jié)果進行下二采樣(即隔一取一)來實現(xiàn)小波分解，分解的結(jié)果是產(chǎn)生長度減半的兩個部分，一個是經(jīng)過高通濾波器產(chǎn)生原始信號的細節(jié)部分，另一個則是經(jīng)過低通濾波器產(chǎn)生原始信號的平滑部分。重構(gòu)時是先使用一組H和G合成濾波器對小波分解的結(jié)果進行濾波，再進行上二采樣(相鄰兩點間補零)來產(chǎn)生重構(gòu)信號。多級小波分解是通過級聯(lián)的方式進行，每一級的小波變換都是在前一級分解產(chǎn)生的低頻分量上的繼續(xù)，重構(gòu)是分解的逆運算。低頻分量上的能量集中，信息豐富；高頻分量上的細節(jié)信息豐富，信息分量多為零，能量較少[3]。按照Mallat的快速算法。 圖像小波分解算法 圖像小波分解的重構(gòu)算法圖像經(jīng)過小波變換后，能夠得到良好的空間頻率多分辨率表示，小波變換具有以下4個主要特征：（1）原始圖像的能量主要集中在低頻子帶圖像。（2）小波分量具有方向選擇性，分為三個部分水平、垂直、對角，這些特性都和人類的視覺特性相吻合。（3）不僅保持原圖像的空間特性，同時很好的提取了圖像的高頻信息。在低頻處具有很好的頻率特性，在高頻處具有很好的空間選擇性。（4）低通模糊子圖具有很強的相關(guān)性，在水平子帶圖像中水平方向上的相關(guān)系數(shù)和大，而垂直方向上??；在垂直子帶圖像中垂直方向上的相關(guān)系數(shù)大，而水平方向上?。蝗欢弊訋D像在垂直方向和水平方向上的相關(guān)系數(shù)都小。小波變換的多分辨率分析能夠有效地抑制噪聲，增強圖像中感興趣的部分，使得小波變換圖像增強得到了很廣泛的應(yīng)用。小波變換將圖像在各個尺度上分成低頻分量與水平高頻，垂直高頻及對角高頻四個不同的分量，經(jīng)小波變換后，根據(jù)圖像需要增強的部分做增強處理，通過對不同方向不同位置上的某些分量改變其小波系數(shù)大小，從而放大某些感興趣的分量而抑制某些不需要的分量。在實際應(yīng)用中，通過對高頻部分分量進行變換，經(jīng)過處理后就能夠達到增強圖像的目的。，其中LL是低頻部分，它表示圖像的主要信息，集中了圖像的大部分能量，而HL，LH和HH都是高頻部分，分別表示圖像水平方向、垂直方向及對角線方向的細節(jié)。如果對圖像的低頻部分繼續(xù)進一步做小波分解，就能夠得到多個尺度的圖像時頻信息[4]。 三級塔形分解示意圖其中LL表示水平方向的低頻成分和垂直方向的低頻分量，即低頻部分；LH表示水平方向的低頻成分和垂直方向的高頻分量，即垂直邊緣信息；HL表示水平方向的高頻成分和垂直方向的低頻分量，即水平邊緣信息；HH表示水平方向的高頻成分和垂直方向的高頻分量，即對角線方向的高頻分量。，數(shù)字圖像的小波分解實質(zhì)上就是將圖像信號分解成不同頻帶范圍內(nèi)的圖像分量。每一層小波分解都將待分解的圖像分解成4個子帶，很好地分離出表示圖像的低頻信息。因此，小波變換能夠在不同的尺度上采用不同的方法來增強不同頻率范圍內(nèi)圖像細節(jié)分量，然后把處理后的系數(shù)進行小波重構(gòu)，這樣就能夠在突出圖像細節(jié)特征的同時，有效抑制噪聲對圖像的影響，使圖像輪廓更加清晰。用MATLAB程序【1】： 圖像的二維小波三級分解及重構(gòu) 圖像經(jīng)過小波變換后，可以分解為大小、位置和方向均不相同的分量，可以根據(jù)需要對某些部分的小波系數(shù)進行處理，從而增強感興趣的分量，然后進行小波逆變換，得到增強后的圖像。其函數(shù)表示為： (31)其中G是小波系數(shù)增強倍數(shù)，是小波系數(shù)閾值，是圖像分解后的小波系數(shù)，是圖像增強后的小波系數(shù)。具體實現(xiàn)步驟如下[2]：(1) 讀入原始圖像；(2) 對原始圖像進行小波分解，得到四個字帶分別是：低頻子帶LL和三個高頻子帶LH、HL、HH(細節(jié)部分)；(3) 對高頻系數(shù)進行非線性增強，達到去噪并增強的目的；(4) 將處理后的兩種小波系數(shù)進行小波逆變換，從而得出增強后的圖像(輸出圖像)。用MATLAB程序【2】： 非線性小波圖像增強 ，經(jīng)過非線性小波變換增強后，圖像的對比度明顯增強，噪聲得到了有效的抑制，但同時丟失了某些細節(jié)部分的信息。 圖像鈍化操作主要是提出圖像中的低頻成分，抑制快速變化成分（高頻成分）。在時域中的處理相對簡單，只需要對圖像進行一個平滑濾波（低通濾波），使圖像中的每個點與其相鄰點做平滑即可[5]。用MATLAB程序【3】： 傳統(tǒng)DCT鈍化與小波變換鈍化 ，采用DCT在頻域做濾波的方法得到的鈍化結(jié)果更為平滑，這是因為其分別率最高，而小波變換得到的結(jié)果在很多地方存在不連續(xù)的現(xiàn)象，這是因為對系數(shù)做抑制或放大時在閾值兩側(cè)有間斷，并且分解層數(shù)很低，只進行了2層分解，并沒有完全分離出圖像中頻域部分的信息。而且在做系數(shù)抑制或放大的時候，采用的標準是根據(jù)系數(shù)絕對值的大小，并沒有完全體現(xiàn)出其位置信息，但是在小波系數(shù)中，就很容易在處理系數(shù)的過程中加入位置信息。 圖像銳化與圖像鈍化處理原理是相反的，圖像銳化的任務(wù)是突出圖像的高頻信息，抑制其低頻信息，從快速變化的成分中分離出標識系統(tǒng)特性或區(qū)分子系統(tǒng)邊界的成分，以便于進一步的分割、識別等操作。在時域中，銳化的方法是作用掩碼或做差分，同鈍化一樣，無論是掩碼和差分都很難識別點之間的關(guān)聯(lián)信息[5]。用MATLAB程序【4】：圖 傳統(tǒng)DCT銳化與小波變換銳化，使用DCT方法進行高通濾波器得到的高頻結(jié)果比較純粹，完全是原始圖像上的邊緣信息，因此圖像非常模糊；而用小波變換得到的結(jié)果中，不只是快速變化的高頻成分，還有變換非常緩慢的低頻成分，這是因為兩者同樣在小波系數(shù)上體現(xiàn)為絕對值較低的部分，但這些成分的存在對進行進一步分析并無多大影響。 小波變換圖像去噪的基本思想是：由于圖像和噪聲經(jīng)小波變換后有不同的統(tǒng)計特性，圖像本身的能量對應(yīng)著幅值較大的小波系數(shù)，主要集中在高頻；噪聲能量則對應(yīng)著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。根據(jù)這一特性，可以設(shè)置一個閾值門限，認為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成分為有用信號，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成分為噪聲，予以濾除，一次達到去噪目的[6]。而如何選取閾值并進行閾值的量化是重點。MATLAB中提供了許多小波降噪和壓縮的函數(shù),可以查閱相關(guān)資料得知[7]。用MATLAB程序【5】： 對圖像進行小波圖像閾值去噪 ，第一次去噪已經(jīng)濾除了大部分的高頻噪聲，但第一次去噪后的圖像中仍然含有很多的高頻噪聲；第二次去噪是在第一次去噪的基礎(chǔ)上再次濾除其中的高頻噪聲。從去噪的結(jié)果可以看出，它具有較好的去噪效果。 用MATLAB程序【6】： 對圖像進行全局閾值降噪用MATLAB程序【7】： 對圖像軟閾值去噪和硬閾值去噪 ，軟閾值去噪后的圖像相對于硬閾值去噪后的圖像平滑得多，但是其可能造成邊緣模糊失真，丟失一些細節(jié)信息等現(xiàn)象，硬閾值去噪后的圖像雖然保留了圖像邊緣等局部特征，但會產(chǎn)生視覺性的失真。這是由于軟閾值的收縮性和硬閾值的粗略性所造成的。 本章主要介紹了小波變換在圖像增強中的應(yīng)用，首先介紹了Mallat算法的基本思想及原理；然后介紹了小波變換在圖像增強中的基本原理；最后是對小波變換在圖像增強應(yīng)用中的具體實現(xiàn)，包括圖像的非線性增強、圖像銳化、圖像鈍化和圖像去噪。