小波變換課件ch1小波分析及其在信號處理中的應(yīng)用-文庫吧
2025-04-20 03:55 本頁面
【正文】 ? 處處稠密 ：設(shè) A和 B為度量空間 的子集，如果有 ， 稱 A在 B中稠密； 如果有 ， 稱 A在 B中處處稠密。 例：實數(shù)集 R按照度量 是一個度量空間， 是有理數(shù)集。 因為 所以 G在 R中處處稠密。 },{ ?XAB ?AB ?||),( yxyx ???RG ?RG ?A的閉包 西北大學(xué)信息學(xué)院 平方可積空間與平方可和空間 ? 如果 將 Euclidean空間中的內(nèi)積定義具體化為 則稱以滿足 的 f(x)為元素的線性空間為 平方可積空間 ，記為 。 ? 平方可積空間是 Hilbert空間 dxxgxfgf ?????)()(,2 22 ||f f d x?? ? ??)(2 ?L希臘字母： kai 西北大學(xué)信息學(xué)院 ? 若內(nèi)積定義為 式中 c為一序列，則稱以滿足 的序列為元素的線性空間為 平方可和空間 ，記為 。 ????????nnn dcd,c222|| || nnc? ? ??c)(2 Zl西北大學(xué)信息學(xué)院 Schwartz（施瓦茨 ）不等式 證明：過程見 p3. 用到的理論： 內(nèi)積的性質(zhì) 判別式的性質(zhì) ,f g f g? ? ?西北大學(xué)信息學(xué)院 絕對可積空間與絕對可和空間 ? 若定義 則稱以滿足 ∞ 的 f 為元素的線性空間為 絕對可積空間 ，記為 。 ? 類似可定義絕對可和空間。 ? 平方可積不一定絕對可積 例：考察函數(shù) 1|| || | |f f d x?? ?1f)(1 ?L211)(xxf??221| ( ) |1f x d x d xx ???? ? ? ?????? ???????dxx 211)(2 RLf ? )(1 RLf ?西北大學(xué)信息學(xué)院 L2(R)空間的基函數(shù) 正交基 ? 信號的分解與重構(gòu) f(x) 分解 ??? nn efc ,重構(gòu) ??nnn xecxf )(~)(信號 分解系數(shù) 基函數(shù)的對偶 完全重構(gòu) 西北大學(xué)信息學(xué)院 ? 如果 則重構(gòu)公式為 當(dāng)下式成立時， 上面的重構(gòu)公式成立。 )()(~ xexe nn ?( ) ( ) , ( )n n nnnf x c e x f e e x? ? ? ???1, { ,0,i j i jije e i j Zij??? ? ? ? ? ??正交歸一化條件 西北大學(xué)信息學(xué)院 ? 滿足正交歸一化條件的函數(shù)序列稱為 正交歸一化函數(shù)系 。 ? 一個完備的正交歸一化函數(shù)系稱為 正交歸一化基 。 ? 正交歸一化基的優(yōu)點(diǎn)是 “ 能量守恒 ” 定理（ Parsvel定理）成立： ? 驗證 L2(0,2?)空間中的 {en(x)}是否為正交歸一化基 2 2 2 2, , { }n n nnnf f f f e c c? ? ? ? ? ? ? ???1( ) ,2j n xne x e n Z???西北大學(xué)信息學(xué)院 (frame) ? 如果一個函數(shù)序列 對于任何 有下式成立： 式中 A、 B為滿足 的常數(shù)，則稱 為一個 框架 。 A、 B分別稱為框架的下界和上界。當(dāng) A＝ B時，則稱此框架為 緊框架 。 2( ) ( )f x L R?2 2 222 , nnA f f B f?? ? ? ?????? BA0}{ n?}{ n?西北大學(xué)信息學(xué)院 ? 設(shè) 為框架，其界為 A和 B。有線性變換 框架條件 保證了 T的可逆性。 由 定義的 對偶框架 滿足 ? 框架一般不是線性無關(guān)的，其對偶也不唯一。 }{ k?1nnT????11( ) , ( ) ,k k k kkkf x T Tf f T x f? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???2 2 222 , nnA f f B f?? ? ? ??, ( )kkkTf f x??? ? ??西北大學(xué)信息學(xué)院 Riesz基 ? 如果函數(shù)序列 對于任何數(shù)列 有 則稱 為一個
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