非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法論文-資料下載頁
2025-06-27 17:09本頁面
【正文】 出方程(1)和(2)的特解，再用解的疊加原理即可得到特解 。解法(3)：由于在確定方程中的特解時(shí)，上述解法是用待定系數(shù)法來確定的，這種方法一般比較煩瑣。下面不妨用微分算子法來確定Y ，這種方法一般比較簡單 。 因?yàn)槭堑奶摬?，所以先求，再取其虛部。因?yàn)椋簞t所以： (取虛部)分析：該解法用微分算子法簡化了求解過程，結(jié)合了算子法和歐拉公式及上述定理2，是一個(gè)較快解決問題的方法。不過用的過程中要記住的一些性質(zhì) ，這樣才會(huì)得心應(yīng)手。解法(4)：原方程可化為：因?yàn)槭翘卣鞲? 所以的特解為，代入方程有：得：，即由于與成共軛，所以與。成共軛函數(shù)的必為方程的特解，則所以原方程的特解為分析：該解法主要運(yùn)用了歐拉公式和解的疊加原理及共軛函數(shù)的一些特性。該方法主要特點(diǎn)是它通過改變形式，簡化了特解代入方程時(shí)的煩瑣。例4 對(duì)二階微分方程或，證明若為的根，則通解為或； （15）若不是的根，則特解為或 （16）證明： 定理3的（14）式中取，有，由此得（15）式。對(duì)二階微分方程，若不是的根，由定理1的（8）式，取，特解為分別取實(shí)部與虛部得（16）式。例5 求解下列微分方程； ； 解: 是的單根，由定理2的（12）式，通解為特征方程是的重根。由定理2的（11）式，通解為。是的重根。由定理3的特解為，其中。所以通解為。例1 解： ，為其三重特征根。故。從而令時(shí)，原方程化為。解之可得為其特解。故為所求解方程的特解。例2 解： 此時(shí)需求方程的特解的實(shí)部，應(yīng)用我們的方法，令時(shí)，求解方程。即。顯然為其特解。故為的復(fù)值特解。取其實(shí)部得方程的特解。
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