概率論入門1部分-資料下載頁
2025-06-27 15:08本頁面
【正文】 包括那2個不和的男士中的任意一個，有組只包括那2個不和的男士中的一個，這就是說3位男士的組合中有+=30組均不包括兩個不和的男士，因為選取2位女士有種方法，因此答案為30=300個不同的委員會。例 4c. 考慮條天線中有條有缺陷，可以用，假設所有有缺陷的天線和所有能用的天線都不互相區(qū)別，那么任意兩條有缺陷的天線不連接的接線方法有多少種？解 對可以用的天線排隊，現(xiàn)在假設任意兩條有缺陷的天線均不連接，那么可用天線之間的每一個空間都最多只有一條有缺陷的天線，這就是說在條可用天線之間的種情況中 — ,必須選擇其中的個位置來放有缺陷的天線。從而有種連接，其中在任意兩條有缺陷的天線之間至少有一條可用的天線。表1。1一個有用的恒等式為 ()等式()可以用解析方法證明，也可以用以下組合方法證明?，F(xiàn)有個個體，其中特殊的一個——稱為個體1，則個個體中包括個體1的有組（因為每一個這樣的組都是由從余下的個個體中選取個組成），個個體中不包括個體1的有組，因為抽取個個體一共有組，從而()成立。值通常被指定為二項式系數(shù)，這就是為什么它們在二項式理論中占有如此重要地位的理由。二項式定理 ()下面用兩種方法證明此二項式定理，第一種證明用數(shù)學歸納方法，第二種證明基于組合方法。歸納法證明二項式定理：時，等式()變?yōu)榧僭O等式()對成立，則 在第一個和式中令，在第二個和式中令就有： 其中倒數(shù)第二個等式來自等式()。從而用歸納法證明了此定理。組合法證明二項式定理：考慮乘積它的展開項由項的和組成，每一項是個因子的乘積，而且項組成的和式中每一項或者包括，或者包括，例如：現(xiàn)在，在和式中的項中有多少項含有個，個？因為根據(jù)從個值中取個的原則知，每一項都由個，個組成，有個這樣的項，從而令得：例 4d. 展開。解 例 4e. 含有個元素的集合有多少子集？解 因為含有個元素的子集有個，所以答案是。此結(jié)果也可以通過把集合里的每一個元素賦值為0或1。對每一次賦值由一一對應的方法對應一個集合，即此集合由被賦值為1的所有元素組成，因為有個可能的排列，所以結(jié)果為。注意到我們在計算子集的時候，包括了一個0元素的集合(即空集)。因此至少包括一個元素的集合有1個。 多項式系數(shù)本節(jié)考慮下列問題：將一個含有個獨立元素的集合分為個獨立的組，每一組分別含有個元素，其中，那么有多少種不同的分法？可以這樣回答這個問題，對第一組的選擇有種，對第一組的每一個選擇，第二組都有種選擇，對前兩組的每一個選擇，第三組都有種選擇，以此類推，由推廣了的計數(shù)原則，結(jié)果為： 注：若，定義，這樣將個獨立元素分為組，分別包括個獨立元素，表示總共有多少分法的數(shù)目。例 5a. 某小城市的一個警察局有10位警員，如果局里政策規(guī)定5名警員去街道巡邏，2名全天留在警察局，余下的3名在警局待命，那么把這10名警員分為3組一共有多少種分法？解 有種分法。例 5b. 把10個孩子分為A,B兩組，每組5人，A組同學在一起玩，B組同學一起玩，有多少種分法？解 有種分法。例 5c. 操場上10個孩子為了打一場籃球賽平均分為兩組，每組5個人，有多少種不同的分法？解 注意這個例子和例5b不同，因為此例中兩組的順序是無關(guān)的，也就是說，不分A,B組，只是平均分為兩組即可，從而答案為：。下列定理推廣了二項式定理，其證明留為習題。多項式定理即此和等于所有非負值矢量如數(shù)被稱為二項系數(shù)。
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